Expresar el área de la imagen de una función holomorfa por los coeficientes de su expansión

Question

Tengo el siguiente problema.

Dejemos que $f:D\to \mathbb C$ sea una función holomorfa, donde $D=\{z:|z|\leq 1\}.$ Dejemos que $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n.$$ Dejemos que $l_2(A)$ denotan la medida de Lebesgue de un conjunto $A\subseteq \mathbb C$ y $G=f(D).$ Demostrar que $$l_2(G)=\pi\sum_{n=1}^\infty n|c_n|^2.$$

Después de una larga lucha he conseguido llegar a la siguiente fórmula $$l_2(G)=\iint_D |f\,'(z)|^2dxdy.$$ Parece que es lo correcto porque $$f\,'(z)=\sum_{n=1}^\infty nc_nz^{n-1},$$ que es similar a lo que tengo que probar. Entiendo que el $\pi$ aparecerá cuando integre algo sobre el ángulo $\phi$ en coordenadas polares. Pero no sé cómo encontrar el cuadrado del valor absoluto del lado derecho para empezar a integrar...

EDIT: La función se supone que es univalente (uno a uno). (No estoy muy seguro de estar traduciendo el término correctamente. La palabra (polaca) en el enunciado del problema era "jednolistna". No la he conocido antes).

Answer 1

La fórmula que das es falsa.
Por ejemplo, si $f(z)=z^{17}$ entonces $f(D)=D$ que tiene un área $\pi$ mientras que la fórmula da $17\pi$ .
(Ni que decir tiene, $17$ denota un número entero positivo arbitrario)

Editar
Como ha añadido la condición de que $f$ es univalente, la fórmula se vuelve correcta. He aquí un esbozo de la prueba.

La zona $l_2(G)$ viene dada por $\int _G 1dudv=\int_DJac(u,v)dxdy$ si escribe $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ .
Calculamos $Jac(u,v)=u_x^2+v_x^2=|f'(z)|^2$ y obtener $l_2(G)=\int_D |f'(z)|^2 dxdy$ Como usted ha dicho.

Ahora puede utilizar las coordenadas polares $z=r \cdot exp(i\theta)$ y calcular $l_2(G)=\int_{r=0} ^1\int_{\theta =0}^{2\pi}|f'(rcos \theta, rsin \theta)|^2 rdrd\theta$ .
El integrante es $\Sigma _{n,m}nmc_n\bar c_mr^{n+m-1}exp(i(n-m)\theta)$ .
Sólo debe considerar los términos con $n=m$ porque los otros se convertirán en cero en el $\theta$ -integral.

A continuación, la fórmula se retira. (Estoy seguro de que puedes completar los detalles técnicos de este esquema: permutación de integrales y sumas infinitas, etc.)

Answer 2

Utilizando su fórmula (que es correcta para univalentes $f$ ) y pasando a coordenadas polares se obtiene

$$\begin{align*} \iint_D |f'(z)|^2 ~ dx\,dy &= \int_0^1 \int_0^{2\pi} r\left|f'(re^{i\theta})\right|^2 ~ d\theta \, dr \\ &= \int_0^1 \int_0^{2\pi} r \left(\sum_{n = 1}^\infty nc_nr^{n-1} e^{i(n-1)\theta}\right)\left(\sum_{n = 1}^\infty n\overline{c_n}r^{n-1} e^{-i(n-1)\theta}\right) ~ d\theta \, dr \\ &= \int_0^1\left( \sum_{n=1}^\infty 2\pi n^2|c_n|^2 r^{2n-1} \right)~dr \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2\pi n^2}{2n} |c_n|^2 \\ &= \pi \sum_{n=1}^\infty n|c_n|^2 \end{align*}$$

donde he hecho uso de la relación de ortogonalidad

$$\int_0^{2\pi} e^{ik\theta} ~d\theta = \begin{cases} 2\pi & k = 0\\ 0 & k\ne 0\end{cases}$$

en la línea 3.

Answer 3

$$|f\,'(z)|^2=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty nmc_n\overline{c_m}z^{n-1}\overline{z^{m-1}}$$

$$=\sum_{n=1}^\infty n^2|c_n|^2r^{2n}+2\sum_{n\ge m} nmc_nc_m r^{2m-1}z^{n-m}.$$

Ahora $\iint z^k dxdy=0$ cuando $k\ge1$ por simetría (ya sea $(-z)^k=-z^k$ o $(iz)^k=-z^k)$ por lo que este último término desaparece al integrarse. Entonces podemos cambiar la integral a coordenadas polares:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty n^2|c_n|^2r^{2(n-1)}\cdot rdrd\theta=\pi\sum_{n=1}^\infty n|c_n|^2.$$