Correlaciones entre vecinos de las celdas de Voronoi

Question

Para una secuencia $X_1,X_2,X_3,\ldots$ de las variables aleatorias, lo que significa decir $X_1$ se correlaciona con $X_2$ es inequívoca. Puede ser que el mayor $X_1$, mayor es $X_2$ es probable que sea. Si, como en el convencional Kolmogorovian la teoría de la probabilidad, consideramos que todas estas variables aleatorias como las funciones en un espacio de probabilidad, tiene sentido hablar de diferentes realizaciones $X_1(\omega_1), X_2(\omega_1), X_3(\omega_1),\ldots$$X_1(\omega_2), X_2(\omega_2), X_3(\omega_2),\ldots$. I. e. ejecutar el proceso aleatorio de una vez; obtener un conjunto de valores de $X_1,X_2,X_3,\ldots$; correr de nuevo, conseguir otro, etc.

Pero, intuitivamente, tendría sentido decir que el tamaño y la forma de una celda de Voronoi en algo así como un proceso de Poisson en el plano están correlacionados con los de su vecino. Pero si volvemos a ejecutar el proceso de una vez y obtener vecinos celdas de Voronoi $X_1$$X_2$, y ejecutar de nuevo el proceso, luego que las células en la segunda realización corresponden a $X_1$ $X_2$ en el primero? No parece haber una respuesta razonable. Una celda de Voronoi no tiene alma inmortal, un lanzamiento de la moneda. La primera cosa que pienso es que deje $X_1$ ser el de Voronoi celda que contiene el origen. Pero, entonces, el valor esperado de su tamaño no es el mismo como el tamaño esperado de un arbitray de Voronoi de la célula (es más grande!), y que de sus vecinos podría ser $X_2$? El número mismo de sus vecinos varía de una $\omega$ para el próximo.

Hay una buena manera de rescatar a un concepto de correlación de tamaño y forma de los vecinos de Voronoi de las células?

Answer 1

Empírica de las características de una célula típica $\widehat C$ son definidos generalmente por la ergodic límites $$ E(\varphi(\widehat C))=\lim_{R\to\infty}\frac1{|\mathcal C_R|}\sum\varphi(C)\cdot[C\in \mathcal C_R], $$ definidos para cada función adecuada $\varphi$ donde $\mathcal C_R$ es la casi seguramente colección finita de las células de la $C$ tal que $C\subseteq B_R$ o $C\cap B_R\ne\varnothing$ o de cualquier noción similar, y donde cada una de las $B_R$ es la bola de radio $R$ centrada en $0$, o un dominio similar aumentando a todo el espacio al $R\to\infty$.

Asimismo, empírica características típicas de las células vecinas, puede ser definido a través de los límites $$ E(\varphi(\widehat{C,C'}))=\lim_{R\to\infty}\frac1{|\mathcal C^{(2)}_R|}\sum\varphi(C,C')\cdot[(C,C')\in \mathcal C^{(2)}_R], $$ donde $\mathcal C^{(2)}_R$ es la casi seguramente colección finita de las parejas de las células vecinas $(C,C')$ tal que $C\cup C'\subseteq B_R$ o $(C\cup C')\cap B_R\ne\varnothing$ o de cualquier noción similar.

Estos definen la distribución empírica de una célula típica $\widehat C$ y la distribución empírica de una pareja típica de las células vecinas $\widehat{(C,C')}$. Tenga en cuenta que las distribuciones marginales de los últimos no son los primeros porque las células con muchos bordes tienen más células vecinas.