Mostrar que $\mathbb{R}$, cuando está equipado con el estándar de la topología, no es compacto.

Question

Prueba: Vamos a $\mathscr{U}$ := {$U_n$}$_{n \geq 1}$ = {$(n-1,n+1)$}$_{n \geq 1}$ ser una cubierta abierta de a $\mathbb{R}$. Considere la posibilidad de un número finito de ellos, dicen: $U_{n_1} \ldots U_{n_k}$. Establecimiento $N := \max(n_1 \ldots n_k)$, obtenemos que: $U_{n_i} \subset U_N \implies \bigcup_{i=1}^{k} U_{n_i} = U_N = (N-1,N+1) \subsetneq \mathbb{R}$.

Por lo tanto, $\mathscr{U}$ no puede ser reducido a un número finito subcover de $\mathbb{R}$, de modo que es no compacto. QED.

¿Cómo lo hago? Gracias.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios por Fred y Levent, $\mathcal U$ no es una cubierta abierta de a $\mathbb R$ desde $\bigcup_{n\geqslant 1}(n-1,n+1)=(-1,+\infty)$. Sin embargo, esto se puede solucionar fácilmente: definir en lugar de $U_n:=(-n,n)$. A continuación, $\bigcup_{n\geqslant 1}U_n=\mathbb R$ y de un número finito de subcover está contenida en un intervalo de la forma $(-R,R)$.