Hallar el ángulo de giro de una elipse a partir de su ecuación general y a la inversa

Question

La ecuación general de una elipse es $Ax^2+Bxy+Cy^2+D=0$ . ¿Cómo puedo encontrar el ángulo de rotación, las dimensiones y las coordenadas del centro de la elipse a partir de la ecuación general y viceversa? Por favor, evita usar matrices o ecuaciones paramétricas. Me gustaría que las ecuaciones generales para cada parámetro.

Answer 1

La ecuación general de una elipse es: $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$ si: $$4AC - B^2 > 0$$ El truco es eliminar B para que el término xy desaparezca.
Si $B<>0$ entonces la elipse se rota y el ángulo de rotación se obtiene de: $$tan(2 \theta) = \frac {B}{A-C}$$ $0 < \theta < \frac {\pi}{4}$

$$\cos {\theta} = \sqrt{\frac{1 + \cos{2 \theta}}{2}}$$ $$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{1 - cos{2 \theta}}{2}}$$ Determina la nueva ecuación de la elipse calculando los siguientes coeficientes:
$A' = A \cos^2{\theta} + B \cos{\theta} \sin{\theta} + C \sin^2{\theta}$
$B' = 0$
$C' = A \sin^2{\theta} - B \cos{\theta} \sin{\theta} + C \cos^2{\theta}$
$D' = D \cos{\theta} + E \sin{\theta}$
$E' = -D \sin{\theta} + E \cos{\theta}$
$F' = F$

La ecuación resultante: $A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0$
Después de escribir esta ecuación en la forma $$ \frac{(x'-x'_0)^2}{a^2} + \frac{(y'-y'_0)^2}{b^2} = 1$$

Lo conseguimos: $$x'_0 = \frac{-D'}{2A'}$$ $$y'_0 = \frac{-E'}{2C'}$$

$$a^2 = \frac{-4F'A'C'+C'D'^2+A'E'^2}{4A'C'^2}$$ $$b^2 = \frac{-4F'A'C'+C'D'^2+A'E'^2}{4A'^2C'}$$

Las coordenadas del punto central se encuentran girando hacia atrás sobre el ángulo $\theta$

$x_0 = x'_0 \cos{\theta} - y'_0 \sin{\theta}$
$y_0 = x'_0 \sin{\theta} + y'_0 \cos{\theta}$

¡Salud!

Answer 2

La ecuación que das es la ecuación de una cónica general. Algunas son elipses, otras hipérbolas, otras parábolas y otras cónicas degeneradas, por ejemplo $xy=0$ , $x^2=0$ o $x^2+y^2=0$ .

Los casos no degenerados se distinguen por la forma en que las cónicas interactúan con la línea en el infinito. Tenemos:

1. Si $B^2-4AC < 0$ entonces tenemos una elipse; la cónica pierde la línea en el infinito.
2. Si $B^2-4AC = 0$ entonces tenemos una parábola; la cónica es tangente a la recta en el infinito.
3. Si $B^2-4AC > 0$ entonces tenemos una hipérbola; la cónica cruza la línea en el infinito dos veces.

El centro de una cónica se encuentra resolviendo las ecuaciones $\partial f/\partial x = \partial f /\partial y = 0$ donde $f(x,y)$ es la ecuación que has dado. En este caso, suponiendo $B^2-4AC \neq 0$ tenemos el centro $(p,q)$ como:

$$(p,q) = \left(\frac{2CD-BE}{B^2-4AC},\frac{2AE-DB}{B^2-4AC}\right) . $$

En cuanto a la rotación, suponga que tiene una elipse o una hipérbola. Tienes que completar el cuadrado de la $x^2$ y $x$ términos, así como el $y^2$ y $y$ términos. Esto equivale a trasladar la cónica para que su centro esté en el origen. A continuación, se puede volver a etiquetar $(x-p)$ como $X$ y $(y-q)$ como $Y$ y dividirlo por una constante para obtener una forma cuadrática no degenerada, algo así como $aX^2+bXY + cY^2=1$ donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales. A continuación, se observa la matriz de la forma cuadrática:

$$Q = \left(\begin{array}{cc} a & \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}b & c \end{array}\right) . $$

Los vectores propios de $Q$ te dan los ejes de la cónica. Para girar la matriz, hay que encontrar una matriz de cambio de base ortogonal que diagonalice $Q$ . Por último, terminará con $\alpha X^2+\beta Y^2=1$ .

Answer 3

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx + Ey +F=0 \hspace{2 mm} .. (1)$ representa una ecuación general para la cónica. Incluye un par de rectas, círculos, elipse, parábola e hipérbola. Para que esta ecuación general sea una elipse, tenemos ciertos criterios .

Supongamos que se trata de una elipse centrada en algún punto $(x_0, y_0)$ . Nuestra elipse habitual centrada en este punto es $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 \hspace{ 2 cm } (2)$$

Tenga en cuenta que este término no tiene $xy$ término. Este término aparece debido a la rotación. Así que hagamos una contra rotación tal que $xy$ desaparece. Dejamos que $x = X \cos \theta + Y \sin \theta$ y $y = - X \sin \theta + Y \cos \theta $ , lo introducimos en $(1)$ y equiparar el coeficiente de $xy$ a $0$ ya que suponemos que por rotación $(xy)$ desaparece. A partir de aquí, podemos calcular $\theta $ . Si se trata de una elipse, entonces podremos reducir el remanente de $(1)$ en la forma $(2)$ . De ahí que encontremos el centro.

Answer 4

Para la parte viceversa de la pregunta: la parametrización para la elipse centrada en el origen y con semieje mayor igual a $a$ (paralelo al marco de referencia) y semieje menor igual a $b$ es

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\b\sin\varphi\end{pmatrix}\qquad\varphi\in[0,2\pi)$$

Si giro la elipse del ángulo $\theta$ con la matriz de rotación $R=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ Lo conseguiré:

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\b\sin\varphi\end{pmatrix}$$

Si traduzco el centro de $(0,0)$ a $(x_c,y_c)$ Lo conseguiré:

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\b\sin\varphi\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_c\\y_c\end{pmatrix}$$

Ahora me gustaría aislar $\cos\varphi$ y $\sin\varphi$ , luego se eleva al cuadrado y finalmente se obtiene la forma cuadrática.

$$\begin{pmatrix}x-x_c\\y-y_c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\b\sin\varphi\end{pmatrix}$$

Desde $R$ es una matriz de rotación, se cumple que $R^{-1}=R^T$ y así puedo multiplicar ambos lados por $R^T$ :

$$\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-x_c\\y-y_c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\b\sin\varphi\end{pmatrix}$$

Ahora hago el producto vectorial de la matriz:

$$\cos(\theta)(x-x_c)+\sin(\theta)(y-y_c)=a\cos\varphi$$

$$-\sin(\theta)(x-x_c)+\cos(\theta)(y-y_c)=b\sin\varphi$$

y aíslo $\cos\varphi$ y $\sin\varphi$ :

$$\frac{\cos(\theta)(x-x_c)+\sin(\theta)(y-y_c)}{a}=\cos\varphi$$

$$\frac{-\sin(\theta)(x-x_c)+\cos(\theta)(y-y_c)}{b}=\sin\varphi$$

Ahora bien, como $\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1$ Me sale

$$\left(\frac{\cos(\theta)(x-x_c)+\sin(\theta)(y-y_c)}{a}\right)^2+ \left(\frac{\cos(\theta)(y-y_c)-\sin(\theta)(x-x_c)}{b}\right)^2=1$$

Ahora usaré simpático para extraer los coeficientes $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ de la forma cuadrática $$Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$

from sympy import *
theta,x_c,y_c,a,b,x,y=symbols('theta x_c y_c a b x y')
exp_1=((cos(theta)*(x-x_c)+sin(theta)*(y-y_c))/a)**2+((cos(theta)*(y-y_c)-sin(theta)*(x-x_c))/b)**2-1
exp_2=expand(exp_1)
P=poly(exp_2,x,y)
A,B,C,D,E,F=symbols('A B C D E F')
A_=P.coeff_monomial(x**2)
B_=P.coeff_monomial(y**2)
C_=P.coeff_monomial(x*y)
D_=P.coeff_monomial(x)
E_=P.coeff_monomial(y)
F_=P.coeff_monomial(1)
print(latex(relational.Eq(A, A_)))
print(latex(relational.Eq(B, B_)))
print(latex(relational.Eq(C, C_)))
print(latex(relational.Eq(D, D_)))
print(latex(relational.Eq(E, E_)))
print(latex(relational.Eq(F, F_)))

$$A = \frac{1}{b^{2}} \sin^{2}{\left (\theta \right )} + \frac{1}{a^{2}} \cos^{2}{\left (\theta \right )}$$ $$B = \frac{1}{b^{2}} \cos^{2}{\left (\theta \right )} + \frac{1}{a^{2}} \sin^{2}{\left (\theta \right )}$$ $$C = - \frac{2}{b^{2}} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )} + \frac{2}{a^{2}} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )}$$ $$D = - \frac{2 x_{c}}{b^{2}} \sin^{2}{\left (\theta \right )} + \frac{2 y_{c}}{b^{2}} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )} - \frac{2 x_{c}}{a^{2}} \cos^{2}{\left (\theta \right )} - \frac{2 y_{c}}{a^{2}} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )}$$ $$E = \frac{2 x_{c}}{b^{2}} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )} - \frac{2 y_{c}}{b^{2}} \cos^{2}{\left (\theta \right )} - \frac{2 x_{c}}{a^{2}} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )} - \frac{2 y_{c}}{a^{2}} \sin^{2}{\left (\theta \right )}$$ $$F = -1 + \frac{x_{c}^{2}}{b^{2}} \sin^{2}{\left (\theta \right )} - \frac{2 x_{c}}{b^{2}} y_{c} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )} + \frac{y_{c}^{2}}{b^{2}} \cos^{2}{\left (\theta \right )} + \frac{x_{c}^{2}}{a^{2}} \cos^{2}{\left (\theta \right )} + \frac{2 x_{c}}{a^{2}} y_{c} \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )} + \frac{y_{c}^{2}}{a^{2}} \sin^{2}{\left (\theta \right )}$$

Inspirado por Calcular el centro, los ejes y la rotación a partir de la ecuación de la elipse

Ver también https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_ellipse