El uso de la expansión de Taylor para ${(1+x)}^{-1/2}$, evaluar $\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} a^n$

Question

El uso de la expansión de Taylor para $${(1+x)}^{-1/2}$$ we have $${(1+x)}^{-1/2}= \sum_{n=0}^\infty \binom{-1/2}{n} (x^n)$$ para $|x|<1$.

Pero si $|a| <1$, ¿cómo podemos utilizar el hecho de encontrar

$$\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} a^n?$$

Gracias! Ayuda muy apreciada.

Answer 1

Escribir lo $\binom{-1/2}{n}$ medios; es decir, $$ \begin{align} \binom{-1/2}{n} &= \frac{(-1/2)(-3/2) \cdots ((-2n+1)/2)}{n!} = \frac{(-1)^n}{2^n} \frac{(1)(3) \cdots (2n-1)}{n!} \\ &= \frac{(-1)^n}{2^n} \frac{(2n)!}{2(4) \cdots (2n)n!} = \left(\frac{-1}{4}\right)^n \frac{(2n)!}{n!n!} \\ &= \left(\frac{-1}{4}\right)^n \binom{2n}{n}. \end{align} $$ Esto debería ser suficiente para que usted será capaz de encontrar a $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} a^n$.

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¿Estás seguro de que quieres decir $\sqrt{1+x}$, aunque? Que daría $\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n} x^n$. Entonces, siguiendo el mismo argumento como el anterior se obtendría $\binom{1/2}{n} = \frac{-1}{2n-1} \left(\frac{-1}{4}\right)^n \binom{2n}{n}$, que sería un poco más difícil de tratar debido a de la $2n-1$ en el denominador.