Dos definiciones de la transformada de Fourier para $L^1$ $L^2$ coinciden

Question

Para una función de $f\in L^1(\mathbb{R})$, su transformada de Fourier se define como $$\hat{f}(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ixy}dx$$

Para una función de $f\in L^2(\mathbb{R})$, su transformada de Fourier se define como el único de asignación continua $g:L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ que se extiende la asignación de $h:S\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ donde $S$ es el de Schwartz de la clase, y la transformada de Fourier de una función en el Schwartz clase se define como en el primer párrafo. (Asumimos que esta asignación continua $g$ existe y es único.)

Deje $f$ tanto $L^1(\mathbb{R})$$L^2(\mathbb{R})$. Mostrar que las dos definiciones coinciden.

Por la segunda definición, debemos encontrar las funciones de $g_1,g_2,\ldots\in S$ tal que $\|g_n-f\|_2\rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$. A continuación, $\hat{f}$ es la única función que $\|\hat{g_n}-\hat{f}\|_2\rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$. Así que debemos probar que

$$\int_{-\infty}^\infty g_n(x)e^{-ixy}dx-\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ixy}dx\rightarrow 0\text{ as } n\rightarrow\infty$$ That is, $$\int_{-\infty}^\infty (g_n(x)-f(x))e^{-ixy}dx\rightarrow 0\text{ as } n\rightarrow\infty$$

Pero, ¿por qué es esto cierto? Sólo sabemos que $$\int_{-\infty}^\infty (g_n(x)-f(x))^2dx\rightarrow 0\text{ as } n\rightarrow\infty$$

Answer 1

Vamos, que para distinguir entre las dos transformadas de Fourier, denotan el uno por $\mathscr{F}_1$,

$$\mathscr{F}_1(f)(y) = \int_\mathbb{R} f(x)e^{-ixy}\,dx\tag{1}$$

para $f\in L^1(\mathbb{R})$, y el otro por $\mathscr{F}_2$,

$$\mathscr{F}_2(g) = \lim_{n\to\infty} \mathscr{F}_1(g_n)\tag{2}$$

para $g\in L^2(\mathbb{R})$ donde $g_n$ es una secuencia de funciones en $S$ que converge a$g$$L^2$, y el límite en $(2)$ $L^2$- límite.

Para $f \in L^1 \cap L^2$, encontramos una secuencia $(g_n)$ $S$ de manera tal que no sólo se $\lVert g_n - f\rVert_2 \to 0$, pero también se $\lVert g_n - f\rVert_1 \to 0$.⁽¹⁾

A continuación, se puede concluir

$$\left\lVert \mathscr{F}_1(g_n) - \mathscr{F}_1(f)\right\rVert_\infty \leqslant \lVert g_n - f\rVert_1 \to 0,$$

es decir, las transformadas de Fourier de las $g_n$ convergen uniformemente a la $L^1$ transformada de Fourier de $f$, y, por definición, tiene

$$\mathscr{F}_1(g_n) \xrightarrow{L^2} \mathscr{F}_2(f),$$

y hay una larga de la $\mathscr{F}_1(g_n)$ que converge pointwise casi en todas partes a $\mathscr{F}_2(f)$ (bueno, sabemos que converge uniformemente, de manera que toda la secuencia converge pointwise), por lo que ha $\mathscr{F}_1(f) = \mathscr{F}_2(f)$ en casi todas partes (y usted puede elegir la $\mathscr{F}_1(f)$ como un representante, por lo que entonces se tiene la igualdad en todas partes). En ese sentido, las dos definiciones coinciden, por $f \in L^1\cap L^2$, $L^1$- transformada de Fourier de $f$ es un representante de la $L^2$-transformada de Fourier de $f$.

Si usted elige una secuencia $(g_n)$ $S$ tal que $\lVert g_n - f\rVert_2 \to 0$, pero no $\lVert g_n -f \rVert_1 \to 0$, luego por el de arriba tiene convergencia $\hat{g}_n \xrightarrow{L^2} \hat{f}$, y que implica que para que un subsequence $g_{n_k}$, usted tiene pointwise convergencia $\hat{g}_{n_k}(y) \to \hat{f}(y)$ en casi todas partes, pero no hay ninguna garantía (para mí) que tiene pointwise una.e. la convergencia de la secuencia completa, ni que tiene pointwise convergencia en todas partes por cualquier subsequence. Pero sería difícil, al menos, creo yo, vamos con un ejemplo concreto de una función de $f\in L^1\cap L^2$ y una secuencia $g_n$ de Schwartz funciones convergentes a $f$ $L^2$ tal de que usted no tiene pointwise convergencia en casi todas partes, o incluso en todas partes de la secuencia completa.

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⁽¹⁾ Que siempre es posible, deje $f_m(x) = f(x)\cdot \chi_{[-m,m]}(x)\cdot \chi_{\{ \lvert f(y)\rvert \leqslant m\}}(x)$. A continuación, $f_m \to f$ $L^1$ y $L^2$. $f_m$ es un almacén de función con soporte compacto, por lo que convolving con una compacta compatible aproximación de la identidad produce de forma compacta compatible suave funciones convergentes a$f_m$$L^1$$L^2$.