¿Cuál es el estado de Witten y Vafa el argumento de que la QCD la energía del vacío es de un mínimo de cero $\theta$ ángulo?

Question

El argumento, que reproduzco aquí de Ramond `Journies BSM', es originalmente por Witten y Vafa en ($\it{Phys}$. $\it{Rev}$. $\it{Lett}$. 53, 535(1984)). El argumento es que para $\theta = 0 $ (mod $2\pi$) de la QCD la energía del vacío $E(\theta)$ es mínimo. A partir de la distancia Euclídea ruta integral para QCD ( con masivos fermiones acusados en virtud de QCD, nada más) en un volumen V

$ e^{- V E (\theta)} = \int \mathcal{D} \mathcal{D} p \mathcal{D} \bar{q} exp \left( - \int d^4 x \mathcal{L}\right) $

donde

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4 g^2} Tr (G_{\mu \nu}G_{\mu \nu}) + \bar{q}_i (\gamma^\mu D_\mu+ m_i) q_i + \frac{i \theta}{32 \pi^2} Tr(G_{\mu \nu} \tilde{G}_{\mu \nu} ). $

La integración de la quarks obtenemos:

$ e^{- V E (\theta)} = \int \mathcal{D} \det{(\gamma^\mu D_\mu+ m_i)} \mathcal{D} p \mathcal{D} \bar{q} exp \int d^4 x\left( \frac{1}{4 g^2} Tr (G_{\mu \nu}G_{\mu \nu}) - \frac{i \theta}{32 \pi^2} Tr(G_{\mu \nu} \tilde{G}_{\mu \nu} )\right). $

En pura QCD los quarks tienen vectores como los acoplamientos y por lo $\det{ (\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu+ m_i) }$ es positivo y real. Para cada autovalor $\lambda$ $\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu$ hay otro de signo opuesto. Así

$\det{ (\gamma^\mu D_\mu+ m_i) } = \prod_\lambda i \lambda +M) = \prod_{\lambda>0} (i \lambda +M)(-i \lambda +M) = \prod_{\lambda>0} ( \lambda^2 +M^2 )^2 >0 $

Por lo tanto si $\theta$ fueron de cero, el integrando serían puramente real y positiva de las cantidades. Ahora, la inclusión de la $\theta$ plazo con su yo sólo puede reducir el valor de la ruta integral, que es el mismo que se incrementa el valor de $E(\theta)$. De ello se desprende que $E(\theta)$ es mínimo en $\theta = 0$. Esta es la motivación para que los axiones donde $\theta$ es promovido a una dinámica de campo que luego se relaja a un vev de 0.

Ramond agrega "la leve advertencia" que con los acoplamientos de Yukawa, el fermión determinante no puede dejar de ser positivo ni real. Witten y Vafa no parecen hacer nada semejante advertencia. Ramond nota sobre yukawas parece invalidar todo el argumento. ¿Dónde deja esto a axiones como candidato a resolver el Fuerte CP problema?

Answer 1

Sé que este es un año de antigüedad pregunta, pero voy a intentar una respuesta. Como lo que yo puedo decir, esto no es realmente un problema. La razón de esto es que siempre se puede establecer la fase general de la masa del quark determinante para ser cero con un quirales U(1) la transformación. Para una discusión de este punto, ver por ejemplo el capítulo sobre theta vacua en Weinberg de la QFT libro. El punto principal es que:

1. Si vas a hacer una quirales U(1) transformación en la ruta integral, obtendrá no triviales de la transformación de la integral de medir, debido a la anomalía, pero la anomalía de la función que aparece es exactamente de la misma forma que la theta término. El resultado es que el quirales U(1) transformación de $\Psi_f \to e^{i \alpha_f \gamma_5}\Psi_f$ cambios $\theta$ $\theta - 2 \sum_f \alpha_f$
2. Por otro lado, esta transformación también los cambios de las fases de la masa del quark matriz como $m_f \to m_f e^{i 2 \alpha_f}$
3. Pero si el tratamiento de esta transformación como un cambio de variables en la ruta integral, que no se debe cambiar la física. Esto significa que la fase de la quark masa de la matriz y de la $\theta$ parámetro no son realmente independientes, en el sentido de que la física puede depender sólo de la combinación: $e^ {-2 i\theta} \prod_f m_f$, ya que esta es la combinación de la izquierda invariantes bajo el cambio de variables.

En particular, esto significa que usted puede rotar el quark masa de la matriz de fase es igual a cero, y de esta manera cambiar la fase de la $\theta$ plazo. Por lo tanto, no creo que esto es una advertencia, es sólo un paso en el argumento de la izquierda en la mayoría de los.