Prueba de que un grupo de orden $pqr$ (con condiciones en los números primos) es abelian.

Question

Yo estoy haciendo este ejercicio:

Deje $G$ ser un grupo, con $|G|=pqr$, $p,q,r$ diferentes de los números primos, $q<r$, $r \not\equiv 1$ (mod $q$), $qr<p$. Supongamos también que el $p \not\equiv 1$ (mod $r$), $p \not\equiv 1$ (mod $q$).

Deje $C$ (el colector de $G$) y $K$ ser subgrupos de $G$, con $C \leq K$, $K \trianglelefteq G$ y $|K|=q$. $K$ es el único de Sylow $q$-subgrupo de $G$ (por lo $K \trianglelefteq G$). Deje $G/K$ ser un grupo abelian (en particular, $G/C$ es un grupo abelian).

Demostrar que $C=\langle[a,b]=aba^{-1}b^{-1} \mid a,b\in G \rangle=\{e\}$ $G$ es abelian.

Yo realmente no sé cómo probar esto. Por Lagrange vi que el orden de $C$ $1$ o $q$, pero la opción de $|C|=q$ sigue siendo una opción válida, así que no sé cómo demostrar que $C=\{e\}$. Gracias.

Answer 1

He encontrado un documento que resuelve este problema. Es un caso particular, pero es de gran ayuda en la comprensión de:

http://faculty.etsu.edu/gardnerr/4127/notes/VII-37.pdf (Páginas 9 y 10, Ejemplo 37.15).