¿Significa valor teorema para funciones complejas?

Question

Que $\varphi_t$ sea una función analítica en un dominio abierto $\Omega\subseteq\mathbb{C}$.

Que $K \subset \Omega$ ser un conjunto compacto.

Estoy tratando de demostrar que para cualquier fijo parámetro y valores fijos: $$\left|\frac{\varphi_t(b) - \varphi_t(a)} {b-a} \right| \leq \sup_{z \in K} \left|\frac{d}{dz}\varphi_t (z) \right|$$

Por un segundo pensé que Teorema del valor medio podría trabajar aquí, pero luego me di cuenta de que no existe MVT para funciones complejas.

¿Alguna idea para probar la declaración?

Answer 1

Como mrf no ha demostrado ninguna desigualdad general de tipo conjetural. Pero se puede argumentar como sigue: $$\bigl|\phi(z)-\phi(z_0)\bigr|=\left| \int_\gamma \phi'(\zeta)\ d\zeta\right| \leq \int_\gamma \bigl|\phi'(\zeta)\bigr|\ |d\zeta|\leq \sup_{\zeta\in K}\bigl|\phi'(\zeta)\bigr|\ L(\gamma)$ $ para cualquier curva $\gamma$conexión $z_0$ $z$en $K$. Cuando $K$ pasa a ser convexo puede tomar $\gamma$ el segmento de conexión $z_0$ $z$. Tiene longitud $|z-z_0|$, por lo que en este caso de hecho tiene una desigualdad de la forma $$\left|{\phi(z)-\phi(z_0)\over z-z_0}\right|\ \leq\ \sup_{\zeta\in K}\bigl|\phi'(\zeta)\bigr|\ .$ $

Answer 2

Esto no es cierto. Mirar un arco $K$ radio $R$ con centro en el origen de partida de cerca (pero sólo por encima) de la negativa del eje real y que termina justo debajo del eje real negativo. Deje $\phi(z) = \log z$ (tomado como el director de la sucursal) y deje $\Omega$ ser un pequeño barrio de el arco, elegido tan pequeña que no contiene todos los puntos sobre el eje real negativo.

A continuación, con $z = Re^{it}$ $z_0 = Re^{-it}$ $t$ cerca de $\pi$, obtenemos $$|f(z)-f(z_0)| \approx 2\pi$$ y el lado izquierdo de la desigualdad es muy grande (ya $|z-z_0| \approx 0$). Por otro lado, el lado derecho es aproximadamente el $1/R$ que es muy pequeño si $R$ es grande.