¿Fórmula cerrada para el % de sumas $\sum\limits_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} i_1 i_2 \cdots i_k $?

Question

He trabajado un par de fórmulas de suma, y tengo la esperanza de encontrar un patrón. A menos que yo haya cometido un error en alguna parte, tenemos las siguientes identidades:

$$\sum_{1 \le i \le n} i = \frac{(n+1)n}{2} $$

$$\sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{(3n+2)(n+1) \, n \, ( n-1)}{24}$$

$$\sum_{1 \le i < j < k \le n} ijk = \frac{(n+1)^2 \, n^2 \, (n-1)(n-2) }{48}$$

Parece claro que $$p_k(n)= \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} i_1 i_2 \cdots i_k $$ is a polynomial in $n$ of degree $2k$. Pero hay una buena forma cerrada de la fórmula? Quizá en términos de su factorización?

Comentario: me doy cuenta de que lo que estoy buscando es el coeficiente de $t^k$ en la expansión $$(1+t)(1+2t) \dots (1+nt),$$ así que tal vez la generación de la función de las técnicas puede ser útil. Pero la principal forma de saber extraer el coeficiente de $t^k$ es tomar derivados $k-1$ veces y en la superficie de las cosas que parece un lío enorme.

Answer 1

A partir de su función generadora que tenemos

$$p_k(n) = [t^k] \prod_{q=1}^n (1+qt).$$

Se trata de $$ [t ^ k] t ^ n \prod_{q=1}^n (1/t + q) = [t ^ {n-k}] \prod_{q=1}^n (1/t + q). $$

Set $t=1/v$ llegar

$$ [v ^ {n-k}] \prod_{q=1}^n (v + q) = [v ^ {n-k + 1}] \prod_{q=0}^n (v + q). $$

Ahora el lado derecho es precisamente la función de generación de los números de Stirling de la primera clase y obtenemos

$$\left[n+1\atop n+1-k\right].$$

Answer 2

%#% $ de #% donde $$p_{k}(n) = S_1(n+1, n-k+1)$ son los números de Stirling de la primera clase.

EDICIÓN: Tenemos $S_1$ $ $$p_k(x) = {x \choose k} S_k(x)$ dónde están los polinomios Stirling y $S_k(x)$ $