¿Cómo leer esquemas de homotopía?

Question

Estoy tratando de empezar a trabajar a través de J. P. Mays Un breve Curso de Topología Algebraica , pero parece que no puede entender lo que describe como "esquemático indicaciones de cómo una determinada homotopy se comporta en "el dominio de plazas".

Él primero se define la ruta de tres funciones: $$ F : x \a y, \qquad G : y \a a la z, \qquad H : z \w. $$ y señala a continuación que sus composiciones son asociativos -- estoy seguro de que hay una mejor manera de poner, simplemente, escribe: $h \circ (g \circ f) \sim (h \circ g) \circ f$, que es también fácil de creer ya que "define" la composición de los caminos un poco antes (por la concatenación de ellos y se va "dos veces más rápido", que estoy más o menos dispuesto a aceptar por el momento).

Se define entonces un constante bucle de ruta de acceso de la función $c(x) : x \to x$ y dibuja su imagen del "dominio de la plaza". La parte superior e inferior indican los tres caminos que hemos definido, $f$, $g$, y $h$ -- y la de la izquierda y la derecha indican dos de las funciones de identidad, $c(x)$$c(w)$. Dibuja dos ligeramente inclinado segmentos de línea a través de la plaza, creativos tres volúmenes, que ahora podría presumiblemente ser considerado como $f$, $g$ y $h$. Tenga en cuenta que la fila de abajo no dice $f$-prime, sólo dice $f$; así que supongo que esto supongo que es donde estoy confundido.

Así que en cierto modo lo que esto está diciendo: -- estas funciones mover los puntos a otros puntos en un 'ordenada' de camino, pero creo que estoy teniendo problemas para entender qué se entiende por "dominio de la plaza" y él realmente no la definen. La instalación por parte de esta hizo referencia métrica espacios y algunas cosas acerca de fundamental grupos -- que debe proporcionar el contexto suficiente para reunir lo que el dominio de la plaza es en este contexto y cómo se aplican a decodificar estos pequeños dibujos esquemáticos? Agradecería cualquier ayuda o aclaración sobre estos.

(De paso, y este es, por supuesto, no es necesario, si alguien pudiera sugerir un poco menos, así, "conciso" topología algebraica libro del curso le estaría agradecido.)

Answer 1

Usted puede escribir esto. Por ejemplo, podemos describir a la izquierda de la región (el "$f$-región") como $$ \{(s, t) \[0, 1]^2 : t \geqq 4s - 1\}, $$ y aquí la homotopy está dada por $$ (s, t) \mapsto f\biggl(\frac{4s}{t + 1}\biggr). $$ Este jives con la imagen: la fijación de un $t$, atravesamos $f$$x$$y$$s$$0$%#%, donde llegamos a la frontera. Usted puede hacer este tipo de escala para las otras dos regiones y compruebe que sus funciones de acuerdo sobre la vertical de los límites.

Hay un poco diferente de la presentación de esta en la pg 27 de Hatcher libro que te gustaría. Él enfatiza que la precomposición de una ruta con un mapa continuo $(t + 1)/4$ fijación $\varphi\colon[0, 1] \to [0, 1]$ $0$ no cambia el homotopy clase.

Answer 2

Tal vez estas notas te pueden ayudar. Que está escrito en catalán, pero las fórmulas matemáticas son el lenguaje libre, supongo. :-) (Aunque, si usted tiene problemas con él, sólo hágamelo saber y voy a proporcionar traducciones para lo que usted necesita.)

Propiedades del producto de los caminos son declaró, elaborado y probado en:

1. Definición. Definició 8.1.1, páginas 207-208.
2. Bien definido en homotopy clases. Proposició 8.1.2, página 208.
3. La asociatividad, unidades, inversos. Proposició 8.1.3, páginas 209-211.

Otros libros en Topología Algebraica, menos "conciso" puede ser: Spanier, Hatcher y Massey. Me gustaría utilizar el pasado como mi primer libro sobre el tema, junto con la segunda. El primero de Mayo, me gustaría usarlos como inevitables referencias.

Answer 3

La escritura de las fórmulas funciona muy bien si el homotopy es bastante simple. De lo contrario,no es que realmente te va a ayudar. El libro me pareció-y todavía estoy encontrando-más útil para esto es Juan McCleary de Un Primer Curso En la Topología. De todo corazón lo recomiendo a la mayoría de los estudiantes como muy bien escrito primer roce con la topología de una visual y el punto de vista histórico. Yo iría tan lejos como para decir que contiene la cantidad mínima indispensable de la topología necesaria antes de entrar en la escuela de posgrado. Tratando de aprender topología algebraica a partir de Mayo es como intentar enseñar a ti mismo la anatomía mediante la lectura de un par de revistas médicas. ¿Qué libro sería mejor para usted para aprender depende de si usted prefiere un geométrica o algebraica de aproximación al tema. Para los primeros, hay Hatcher. Para más abstracto,functorial enfoque, no cualquiera Puede, Spainer o el magnífico libro de Tammo tom Dieck. Que prefiero? Ninguno de los dos. Aprendí que la mayoría de los libros y los apuntes que tomó un enfoque equilibrado en el tema y, lamentablemente,no son muchos. El mejor libro que he visto en este sentido es José Rotman es Una Introducción A la Topología Algebraica. Como todo por Rotman, es totalmente moderno, profundo y muy claro -, sin embargo, tiene muchas geométrico de los debates y las referencias a la literatura. Que ES el QUE yo uso si yo fuera usted, y se Puede utilizar como un texto complementario. Si usted pudiera hacer eso,tendría que ser casi listo para cualquier cosa una topología calificador podría lanzar en usted.