Como comentó André Nicolas, si sólo quitamos los puntos finales nos queda más o menos todo el El conjunto de Cantor en términos de cardinalidad. Topológicamente hablando, sin embargo, no es el caso.
Sin embargo, algo muy interesante sucede cuando se eliminan estos puntos finales. Me explayaré sobre eso en breve. Primero introducimos algunos conceptos (y mientras tanto, tomamos esta pregunta de análisis real en Teoría del conjunto descriptivo y topología general )
Primero quiero presentarles el espacio Baire , denotado a menudo por $ \omega ^ \omega $ y $ \mathcal N$ . Este es el espacio de infinitas secuencias de números naturales, pero podemos mirar este espacio como si fuera un árbol.
En la raíz tenemos la secuencia vacía, en el primer nivel tenemos secuencias de longitud uno, es decir $ \langle n \rangle $ entonces tenemos secuencias de dos, tres y así sucesivamente. Cada vértice del árbol tiene infinitamente muchos sucesores inmediatos. El espacio de Baire es el espacio formado cuando el árbol tiene infinitamente muchos niveles, y consideramos las ramas (y no los vértices) como los elementos.
Para comparar, el conjunto Cantor tiene una construcción similar cuando se considera el conjunto subyacente $\{0,1\}$ como Dylan mostró en su respuesta con $3$ -expansiones adictivas limitadas a los dígitos $0,2$ en la expansión.
El espacio Baire (y cada árbol de esta forma también) puede ser dotado de un topología - es decir, decimos qué conjuntos están abiertos y cuáles cerrados. En este caso dejamos que un conjunto básico abierto (una bola de algún radio positivo, si se quiere) sean todas las ramas que comparten el mismo segmento inicial de una longitud prescrita.
Los ejemplos serían todas las secuencias en las que las primeras diez coordenadas son $42$ o las secuencias que en las primeras seis coordenadas son $ \langle 2,574,87144781, 2^{1000}, 314159 \rangle $ .
También podemos definir una función métrica en el espacio de Baire, convirtiéndolo en un espacio métrico (similar a $ \mathbb R$ pero muy, muy diferente). Si tenemos dos ramas distintas, deben tener al menos una $n$ en el que son diferentes. Por lo tanto, tienen un mínimo $n$ con esta propiedad, así que decimos que están a una distancia de $2^{-n}$ . Formalmente: $$d(u,v) = \begin {cases} 2^{-n} & \text { where } n = \min\ {k \mid u(k) \neq v(k)\} \\ 0 & \text { otherwise} \end {cases}$$
Esto es un ultramétrico lo que significa que cada elemento dentro de una bola abierta es su centro. $p$ -números adictivos ).
Un hecho muy interesante sobre el conjunto de Cantor es que es el único espacio (hasta el homeomorfismo) que es totalmente desconectado , separable no tiene puntos aislados y compacto .
Dos hechos interesantes sobre el espacio Baire:
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Es homeomórfico para los irracionales, es decir $ \mathbb R \setminus\mathbb Q$ con el topología subespacial . También es un completo espacio métrico . Aunque esto parece algo extraño, ya que claramente los irracionales están incompletos (toma una secuencia que va a $0$ ). Sin embargo, las dos métricas son sólo topológicamente equivalente esto significa que si midiéramos la distancia de forma similar a como lo hacemos en el espacio de Baire, una secuencia de irracionales convergerá en un límite irracional.
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Este es un espacio totalmente desconectado, sin puntos aislados tiene un subconjunto denso y contante, y cada subconjunto compacto del espacio de Baire tiene un interior vacío. Para comparar, el conjunto Cantor tiene un interior vacío en los reales, es decir, no hay ningún intervalo abierto contenido en el conjunto Cantor. Hasta cierto punto esto significa que los subespacios compactos del espacio Baire "se parecen" un poco al conjunto de Cantor (para ser justos, se parecen exactamente como el espacio de Cantor, pero este no es el punto aquí).
Al igual que el conjunto de Cantor, el espacio de Baire es único (hasta el homeomorfismo, por supuesto) espacio con esta (la segunda) propiedad. Lo que hace que tanto el conjunto Cantor como el espacio Baire sean muy interesantes en el campo de la teoría descriptiva de conjuntos.
Ahora para el golpe principal, supongamos que tomamos el conjunto de Cantor, y quitamos todos los puntos finales de los intervalos (es decir, quitamos cerrado intervalos en la construcción) el resultado es un espacio de dimensión cero, totalmente desconectado, sin puntos aislados, en el que cada subespacio compacto tiene un interior vacío!
Eso significa que empezamos con el conjunto de Cantor, eliminamos una colección relativamente pequeña de puntos y terminamos con los números irracionales, que es un espacio completamente diferente.
En cuanto a la notación compacta para $C_n$ observa que en cada etapa se eliminan más y más intervalos. De hecho, en el $n$ - la etapa que eliminamos $2^n$ intervalos (así como todo lo que se ha quitado antes). El Wikipedia La página sugiere la siguiente anotación:
$$C_n = [0,1] \setminus\bigcup_ {k=0}^{2^m-1} ( \frac {3k+1}{3^m}, \frac {3k+2}{3^m})$$
Observe que en esta notación el $C_n$ no son una secuencia decreciente de conjuntos, si quieres que esta propiedad también reemplace $[0,1]$ por $C_{n-1}$ (y dejar que $C_0 = [0,1]$ por supuesto).
