Hacer las desigualdades que mantenga infinitas sumas que se mantenga para las integrales?

Question

Deje $\mathbb{R}_{\geq0}$ denota el conjunto de no-negativos reales y $+\infty$, e $\mathbb{Z}^+$ denota el conjunto de los enteros positivos. Yo también le permitirá $\lambda$ el valor de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ .

Sea la función $T:\mathbb{R}_{\geq0}^{\mathbb{Z}^+}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq0}$ tal forma que:

1. Para cualquiera de las funciones $c:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{R}_{\geq0},x:\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{R}_{\geq0}$, tenemos: $$T((\sum_{k=1}^{\infty}c_kx(n,k))_{n\in \mathbb{Z}^+ })\leq\sum_{k=1}^{\infty}c_kT((x(n,k))_{n\in \mathbb{Z}^+})$$
2. Para cualquier secuencia de no negativo Lebesgue medibles funciones de $\{f_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$, la función de $T(\{f_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+})$ que envía a $x$ $T((f_n(x))_{n\in \mathbb{Z}^+})$es Lebesgue medible.

Un ejemplo de una función $T$ que satisface estas condiciones, es la función que se envía a$(x_n)_{n\in Z^+}$$\sum_{n\in Z^+}x_n$.

Pregunta: ¿sigue que $$T((\int_{\mathbb{R}}f_n\,d\lambda)_{n\in \mathbb{Z}^+})\leq \int_{\mathbb{R}}T(\{f_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+})\,d\lambda$$ Estoy interesado en conocer la respuesta a esta pregunta.

Yo también estoy muy interesado en ver cualquier contraejemplos (si las hay).

Gracias.

Answer 1

Como se pide, hay algunos pensamientos sobre el tema. Si tenemos que pasar de las propiedades de la suma a la de la integral de Lebesgue, siempre vale la pena para demostrar que la propiedad que nos interesa en sí, al menos para las funciones simples.

Lo que no tiene. Suponga que $\{E_j\}_j$ es una contables medibles partición de $\Bbb R$ y considerar la posibilidad de una colección de no-negativo funciones de $\{f_i\}_i$ $$f_{i,j}(x) = \sum_{j} a_{ij}\cdot1_{E_j}(x)$$ de modo que todas las funciones son simples y están dadas en la misma partición. Tenga en cuenta que $f:=T(\{f_i\}_i)$ es $$f(x) = \sum_{j} T(\{a_{ij}\}_i)\cdot 1_{E_j}(x)$$ como se puede comprobar al sustituir cada una de las $x\in E_j$ a $T(\{f_i\}_i)$. Como resultado, hemos $$\int f_i\mathrm d\lambda = \sum_j a_{ij} \lambda(E_j), \quad \int f\mathrm d\lambda = \sum_j T(\{a_{ij}\}_i) \lambda(E_j)$$ y si ponemos $x_{ij} = a_{ij}$$c_j = \lambda(E_j)$, entonces por la propiedad de $T$ que nos es dada: $$T\left(\left\{\int f_i\mathrm d\lambda\right\}_i\right) = T\left(\left\{\sum_j a_{ij} \lambda(E_j)\right\}_i\right)\leq\sum_j \lambda(E_j) T(\{a_{ij}\}_i) = \int T(\{f_i\}_i)\mathrm d\lambda.$$

Lo que se sostiene además. Si hemos dado inicialmente simples funciones diferentes (finito) de las particiones, luego a partir de $(\{E^i_j\}_j)_i$ - contables de la colección indexada por $i\in \Bbb Z^+$ finito de particiones $E^i = \{E_{ij}\}_j$, existe alguna contables de la partición de $\{F_k\}_k$ que está de acuerdo con todos ellos. Para mostrar esto, en primer lugar tenga en cuenta que hay una contables de la partición de $F^{1,2}$ subyacentes $E^1$$E^2$, con lo que se cumple para cualquier colección finita $J\subset \Bbb Z^+$ de los contables de las particiones - vamos a llamar a la correspondiente partición subyacente por $F^J$. Ahora, si estoy en lo correcto, $F$ contiene en la mayoría de los tantos elementos como $\bigcup_n F^{1,\dots,n}$ y el segundo es contable. Por lo tanto, nuestra hipótesis previa no es restrictiva y, por tanto, su demanda se sostiene bajo la suposición de que usted ha proporcionado para todas las colecciones de funciones simples.

Lo que sí posee en virtud de los supuestos adicionales. Ahora, a pasar de simples funciones medibles que podemos usar el pointwise aproximación por funciones simples como en la construcción de la integral de Lebesgue. Sin embargo, que requiere intercambiar $\sup_n$$T$, de la siguiente manera:

si $\{(y^n_i)_n\}_i$ es una contables de la colección de monótona no decreciente secuencias de $y_i = (y_i^0,y_i^1,\dots)$, luego $$\lim_n T(\{y_i^n\}_i) = T(\{\lim_n y^n_i\}_i). \etiqueta{1}$$ En virtud de tal condición de desigualdad se mantienen también para arbitrario de funciones medibles. Yo no estoy segura de si $(1)$ ya está implícita en la hipótesis planteada en la OP, así que si usted quiere encontrar un contraejemplo, supongo que usted debe mirar en los casos cuando se $(1)$ no posee.

Por el camino, bajo los supuestos de la aditividad de $T$ una condición similar a $(1)$ es completamente caracterizados, y se sabe para contener exactamente para la transición de los kernels en $\Bbb R$, ver [la Proposición 1.3 del Capítulo 1] en Revuz, "Cadenas de Markov".

Eso es bastante más de lo que yo podía decir, así que espero que le ayuda un poco.

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Un positivo kernel $\Bbb R$ es una función de $K:\Bbb R\times \mathfrak B(\Bbb R)\to [0,\infty)$ tal que $K(x,\cdot)$ es una medida positiva para todos los $x$ que $K(\cdot,B)$ es una función medible para todo medible $B$. Deje $\mathfrak B_+(\Bbb R)$ denotar el espacio de todos los no-negativo funciones medibles. A continuación, $K$ se define un operador en ese espacio $$Kf(x) = \int f(y)K(x,\mathrm dy).$$

La proposición: (Revuz) Un aditivo y homogénea operador $V$ $\mathfrak B_+(\Bbb R)$ está asociado con algunos positivos kernel si y sólo si para cada aumento de secuencia $\{f_n\}\subset \mathfrak B_+(\Bbb R)$ sostiene que $$V(\lim_n f_n) = \lim_n V(f_n).$$