Preguntas sobre un grupo con un subgrupo normal de índice 4

Question

Estoy atascado con un problema que encontré en un libro de teoría de grupos. Aquí está:

Dejemos que $N$ sea un subgrupo normal de un grupo $G$ del índice $4$ . Demuestre (1) que $G$ contiene un subgrupo de índice $2$ . Demuestre (2) que si $G/N$ no es cíclico, entonces existen tres subgrupos normales propios $A,B$ y $C$ de $G$ tal que $G=A \cup B \cup C$ .

Este problema se plantea en un capítulo dedicado a los teoremas de homomorfismo e isomorfismo.

¿Alguna pista?

Answer 1

Pista: 4º teorema del isomorfismo (de la red).

Answer 2

Aquí hay una prueba de los resultados (1) y (2) basada en los consejos dados por lhf y jspecter.

Tenemos $\vert G : N \vert = 4$ Por lo tanto $G/N \cong C_4$ o $C_2 \times C_2$ . Si $G/N$ no es cíclico, entonces $G/N \cong C_2 \times C_2$ y (2) se desprende de la tabla de multiplicación.

Dejemos que $\mathcal{G} = \{ A \mid N \leq A \leq G\}$ y les $\mathcal{N}$ sea el conjunto de todos los subgrupos de $G/N$ . Entonces el 4º teorema del isomorfismo afirma que $$ \phi : \mathcal{G} \to \mathcal{N}: A \mapsto A/N$$ es biyectiva. Por lo tanto, $\vert \mathcal{G} \vert = \vert \mathcal{N} \vert = 4$ . Si $G/N \cong C_4$ o $G/N \cong C_2 \times C_2$ es evidente que $G/N$ contiene un subgrupo $H$ del índice 2. Por lo tanto, existe $K \leq G$ tal que $\phi(K) = K/N = H$ . En virtud del 4º teorema del isomorfismo, tenemos $\vert G/N:K/N\vert = \vert G:K \vert = 2$ y se demuestra (1).

Answer 3

$G/N$ es (isomorfo a) o bien $C_4$ o $C_2 \times C_2$ . ¿Cuáles son los subgrupos de $C_2 \times C_2$ ?