En $\mathbb{R}$ con la topología usual se considera la siguiente relación de equivalencia $$x \mathfrak{R} y \; \text{if and only if}\ x,y\in \mathbb{Q}\ (\text{or}\ x=y)$$ $\mathfrak{S}$ $\mathfrak{R}$ Por otro lado, en $\mathbb{R}^2$ con la topología usual, se define $$(x,y)\mathfrak{S} (x',y')\; \text{if and only if}\ (x,y),(x',y')\in \mathbb{Q}^2 \; ( \text{or}\ (x,y)=(x',y'))$$ Se $\mathbb{R}^2 / \mathfrak{S}$ $\mathbb{R}/ \mathfrak{R} \times \mathbb{R} / \mathfrak{R}$ homeomórficos? De manera más general, puede $\mathbb{R}^2/\mathfrak{S}$ ser homeomórficos a un espacio del producto?
He estado tratando de imagen como el cociente de los espacios. Todos los puntos en $\mathbb{Q}$ son un punto en $\mathbb{R}/ \mathfrak{R}$, así que si me tome $x\in \mathbb{Q}$, luego
$$[x]=\{ y\in \mathbb{R} \mid x\mathfrak{R} y\}=\{y\in \mathbb{R} \mid y\in \mathbb{Q} \}=\mathbb{Q}$$ y si $x \not \in \mathbb{Q}$, luego $$[x]=\{x\}$$ y por el otro la equivalencia de la relación de $\mathfrak{S}$ debería funcionar de la misma manera, pero no sé cómo probar o desmentir si el cociente de dos espacios son homeomórficos o no. Gracias de antemano!
