¿Implica que el $a\mid(bc)$$a\mid b$ o $a\mid c$?

Question

¿Implica que el $a\mid(bc)$$a\mid b$ o $a\mid c$?

¿Puede alguien explicar esto un poco?

Answer 1

La declaración de

$$\tag 1 \forall a,b\in \Bbb Z\;\;,\;\;p\mid ab\implies p\mid a\text{ or }p\mid b$$

puede ser considerado una propiedad fundamental de los números de primera .

Si $p$ puede ser cualquier número, el resultado es false. Tomar el $p=4,a=b=2$. Incluso si $(a,b)=1$, la declaración no necesita sostener: que $p=15,a=3,b=5$.

Hay una generalización leve de $(1)$ que es

$$\tag 2 a\mid bc \text{ and } (a,c)=1\implies a\mid b$$

Puesto que cuando $p$ % primer $p\not\mid a\iff (p,a)=1$

Answer 2

No es cierto. Considerar en el caso de $a=bc$, $a,b,c>1$ (por ejemplo, $a=15$, $b=5$, $c=3$).

Y $a=15$, $b=6$, $c=10$ otro contraejemplo. Aunque asumes $b$ $c$ son relativamente privilegiada cae esta declaración. (considerar $a=6$, $b=4$ $c=9$.)

Answer 3

Falso. Considerar

$$a = 2 \cdot 3, \ \ \ \ \ \ b = 2^2, \ \ \ \ \ \ c = 3^2$$

Tenemos que $a|(bc)$ pero no es verdad que el $a|b$ o que $a|c$. Por lo tanto, $a|(bc) \kern.6em\not\kern -.6em \implies a|b \ \text{ or } \ a|c$.