¿$e^{|x|}$ Es diferenciable?

Question

Mis pensamientos van de la siguiente manera:

Para $x > 0$, $e^{|x|} = e^x $

Para $x < 0$, $e^{|x|} = e^{-x}$

Tanto en $e^x$ $e^{-x}$ es diferenciable en cada punto en sus dominios, por lo $e^{|x|}$ será derivable para todos los $x \ne 0$

$e^{|x|}$ duda es continua en todas partes, así que no se puede descartar la diferenciabilidad con ese criterio.

Sé que el derivado de la $e^x$$x=0$$1$, y el derivado de la $e^{-x}$$x = 0$$-1$, así que para mí esto indica que la mano derecha del límite y de la mano izquierda del límite de $\frac{e^{|x|} - 1}{x}$ enfoque de valores diferentes como $x$ enfoques $0$, por lo que no puede ser diferenciable en a $0$.

Esto parece lógicamente correcto para mí, pero no estoy completamente segura, y se siente un poco débil. Algún consejo?

Answer 1

NOTA: El límite a que me refiero no es $\lim_{x\to 0^{\pm}} f'(x)$ como algunos comentaristas de pensamiento. Más bien, es $\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

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Su lógica al final es correcto. Si la función se diferenciable, entonces necesariamente la izquierda y a la derecha de los límites existen y están de acuerdo, por lo que podemos comprobar. El lado izquierdo del límite es la derivada de la $e^{-x}$ $0$ y la mano derecha de límite es la derivada de la $e^x$$0$. En cero el primero es $-1$ y el posterior es $1$ por lo que el límite no existe, y la función no es derivable.

Answer 2

Que una buena idea; sin embargo, la derivada de una función no está garantizado a ser continua, por lo que el argumento no funciona como es. Aquí es una manera de solucionarlo.

Por el teorema de Darboux, si $g$ es la derivada de una función, a continuación, $g$ tiene el valor intermedio de la propiedad.

Lejos de cero, la derivada de $f(x) = e^{|x|}$ está dado por

$$ f'(x) = \operatorname{sign}(x) e^{|x|} $$

Es bastante fácil ver que esta función no alcanzar los valores en el intervalo de $[-1, 1]$ cero $x$.

Sin embargo, desde la $f$ tiene valores mayores que $1$ y menor que $-1$, el valor intermedio de la propiedad implica cada valor en $[-1, 1]$ tiene que ser logrado en algún lugar.

Pero el único lugar posible es en $x=0$, e $f'(0)$ no puede ser que cada número en $[-1,1]$ simultáneamente!

Por lo tanto, $f$ no es diferenciable.

Answer 3

Sí, tienes razón. Tenga en cuenta que la función $y=e^{|x|}$ es simétrica respecto al eje de $y$ $x=0$ tenemos un cambio de signo porque la tangente de $e^x$ en este punto no es null.

Answer 4

Deje $f(x)=e^{|x|}$$g(x)=e^x$.

A continuación,$f(x)=g(x)$$\color{blue}{x \ge 0}$, por lo que $$ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-\color{blue}{f(0)}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{g(h)-\color{blue}{g(0)}}{h} \desbordado{(*)}{=} \lim_{h \to 0} \frac{g(h)-g(0)}{h} = g'(0) . $$ La igualdad marcó con $(*)$ donde $h \to 0^+$ fue reemplazado con $h \to 0$, los usos que ya sabemos que $g$ es una función derivable, por lo que el límite de la definición de $g'(0)$ existe (y por lo tanto es igual a la correspondiente a la izquierda y a la derecha de los límites).

Así que, sí, su conclusión sobre la mano derecha de la derivada es correcta: de hecho, hemos $f'_+(0)=g'(0)$. Pero depende de las $f(x)=g(x)$ ser cierto para $x \ge 0$ y no sólo por $x>0$; de lo contrario no sería posible sustituir la $f(0)=g(0)$ en el cálculo anterior.

Del mismo modo, su conclusión acerca de la parte izquierda de la derivada también es correcto, pero de nuevo, es crucial que $e^{|x|}=e^{-x}$ $x \le 0$ y no sólo por $x<0$.

(Así que si usted hace esta pregunta en un examen, tendría que ser muy cuidadoso con la motivación, para convencer al alumno de que usted realmente saber por qué se le permite hacer esto!)

Ver también esta respuesta.