Relación entre la definición de polinomios y componentes irreducibles de variedad

Question

He estado intrigado acerca de algunos hechos básicos en (clásica) de la geometría algebraica, pero me parece no puede encontrar la respuesta de inmediato:

1. Deje $V=V(f_1,\ldots,f_n)$ ser una variedad de más de algún campo $k$, y deje $n > 1$. Supongamos que $V$ resultó ser reducible, es decir, la unión de variedades irreducibles $V_1,\ldots,V_m$ algunos $m > 1$. Debe ser el caso que al menos uno de los $f_i$s son reducibles polinomios?

2. Tomar uno de los irreductible componentes, $V_1$, dicen. ¿La definición de las ecuaciones de $V_1$ tienen nada que ver con los polinomios $f_1,\ldots,f_n$?

3. Supongamos variedades de $V = V(f_1,f_2)$ $W = V(f_3)$ compartido un componente común. Eso no significa que $f_3$ de las acciones de un factor, ya sea con uno de $f_1$ o $f_2$? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Muchas gracias!

Answer 1

1) No. La variedad $V=V(y,y-x^2+1)\subset \mathbb A^2_k $ es reducible y consta de los dos puntos de $(\pm1,0)$ (si $char.k\neq 2$), pero los polinomios $y,y-x^2+1$ son irreductibles.

2) La pregunta no es muy precisa. En un sentido la respuesta es "sí", porque se puede obtener un $V_1$ mediante la adición de polinomios $g_1,...,g_r$ $f_i$'s y de escritura de $V_1=V(f_1,...,f_n;g_1,...,g_r)$

3) Sí, si $k$ es algebraicamente cerrado :
Descomponer $f_3$ en irreducibles: $f_3=g_1^{a_1}\ldots g_s^{a_s}$. La irreductible componentes de $V(f_3)$ $V(g_j)$'s. Decir $V(g_1)$ es también una componente irreducible de $V_1=V(f_1,f_2)$. Entonces, desde el $f_1$ se desvanece en $V_1$, el polinomio $g_1$ divide $f_1$ (por el Nullstellensatz) y de manera similar a $g_1$ divide $f_2$. Lo que en realidad lo $f_3$ comparte el mismo factor de $g_1$ ambos $f_1$ $f_2$ , que es más de lo que usted pidió.

Advertencia Si $k$ no es algebraicamente cerrado, la respuesta a la 3), puede ser que no: por ejemplo, durante la $\mathbb R$ de las variedades que se $V=V(x+y,x^4+y^4)$ $W=V(x^2+y^2)$ son ambos iguales a la irreductible subvariedad del plano que consta de un solo punto: $V=W=\lbrace (x,y)\rbrace \subset \mathbb A^2(\mathbb R)=\mathbb R^2$ .
Sin embargo $x^2+y^2$ es irreducible en a $\mathbb R[x,y]$ y no comparte el factor de con $x+y$ ni $x^4+y^4$ desde $x^2+y^2$ no dividir los polinomios.

Answer 2

Este es un ejemplo tonto para jugar con. Considerar el conjunto algebraico $\mathbf A^3$ $V(x - yz, x)$. Aquí los componentes irreducibles son líneas $V(x, y)$ y $V(x, z)$.