Relación entre los ceros de un campo vectorial y los puntos fijos de su flujo

Question

Estoy teniendo un pequeño problema aquí y agradecería algunas pistas.

Dejemos que $M$ sea una variedad compacta sin límites y sea $X$ sea un campo vectorial suave en $M$ con sólo ceros aislados. Sea $\theta_t$ denotan el flujo de $X$ .

Me gustaría demostrar que lo siguiente es cierto:

Para un tamaño lo suficientemente pequeño $t > 0$ los únicos puntos fijos de $\theta_t$ son los ceros de $X$ .

Necesito esto, ya que estaba tratando de escribir una prueba de Poincaré-Hopf mostrando que para el índice $\iota(X)$ de $X$ tenemos $$\iota(X) = L(\theta_t)$$ donde $L(\theta_t)$ denota el número de punto fijo de Lefschetz de $\theta_t$ . De la igualdad anterior se deduce inmediatamente que $\iota(X) = L(\theta_t) = L(id) = \chi(M)$ .

Sin embargo, me quedé atascado en demostrar que podemos elegir $t$ lo suficientemente pequeño como para garantizar que no haya puntos fijos no deseados de $\theta_t$ aparecer.

Creo que la afirmación debería ser cierta (supongo que la compacidad será la clave). Al menos, a mí me parece correcta.

Gracias.

Answer 1

Esto es cierto. He tenido que utilizar una tecnología más alta de lo que hubiera esperado para probarlo; tendría curiosidad por escuchar una solución más sencilla.

Lema: Dejemos que $M$ sea una variedad suave, $X$ un campo vectorial suave en $M$ , $\theta$ el flujo a lo largo de $X$ y $x$ un punto de $M$ . Entonces hay un número positivo $\epsilon$ y conjuntos abiertos $U \supset V \ni x$ , tal que, para $t \in (0, \epsilon)$ el flujo $\theta_t$ toma $V$ en $U$ y los únicos puntos fijos de $\theta_t$ son los ceros de $X$ .

Prueba: Como el enunciado es local, podemos suponer inmediatamente que $X = \mathbb{R}^n$ . Fijaremos una norma euclidiana en $\mathbb{R}^n$ Así que podemos hablar de longitudes de arco, áreas de superficie, etc.

Toma $U$ para ser un balón abierto alrededor $x$ (de radio finito). Elija $\epsilon'$ lo suficientemente pequeño como para que el flujo de $x$ para el tiempo $\epsilon'$ se mantiene dentro de $U$ . Elija $V$ una bola lo suficientemente pequeña alrededor $U$ que fluyendo por el tiempo $\epsilon'$ mantiene $V$ en $U$ .

Dejemos que $K$ sea un límite para $|\nabla \times X|$ . (Si $n=2$ o $3$ , es de suponer que saber qué significa esto . En general, me refiero a utilizar el producto interno sobre $\mathbb{R}^n$ a su vez $X$ en un $1$ -forma, toma $d$ de eso $1$ -y luego utilizar la norma inducida en $\bigwedge^2 \mathbb{R}^n$ . No puedo decir por tu escrito si estás contento con este tipo de manipulación -- si no, piensa en el rizo al que estás acostumbrado). Nuestro $\epsilon$ será $\min(\epsilon', 4 \pi K^{-1})$ .

Consideremos una línea de flujo cerrada no trivial, $\gamma$ , en $U$ . Sea $T$ sea el tiempo que se tarda en atravesar $\gamma$ mostraremos $T>\epsilon$ . Sea $\sigma$ sea el disco de área mínima con límite $\gamma$ . Sea $L$ sea la longitud de $\gamma$ y que $A$ sea el área de $\sigma$ .

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $$\int_{\gamma} |X|^{-1} ds \cdot \int_{\gamma} |X| ds \geq \left( \int_{\gamma} ds \right)^2 = L^2.$$ Aquí las integrales son con respecto a la longitud de arco.

Ahora, $\int_{\gamma} |X|^{-1} ds = T$ . (El tiempo para recorrer un camino es la integral, sobre la longitud del camino, de la velocidad inversa. Si se recorre una $7$ -minuto de milla, y una $9$ -minuto milla, te va a llevar $16$ minutos para correr tres kilómetros).

Desde $\gamma$ es una línea de flujo para $X$ vemos $\int_{\gamma} |X| ds = \int X \cdot ds$ El integral de línea de $X$ a lo largo de $\gamma$ . Por Teorema de Green Esto es lo mismo que $\int_{\sigma} \nabla \times X$ que es $\leq K A$ .

Ponerlo todo junto, $$T \cdot (KA) \geq L^2.$$

Ahora, $\sigma$ es la superficie mínima con límite $\gamma$ . Por un resultado de Carleman, el desigualdad isoperimétrica $A \leq L^2/(4 \pi)$ se mantiene para $\sigma$ y $\gamma$ . La mejor referencia en línea que pude encontrar para el resultado de Carleman es este documento de Choe El resultado de Carleman se discute en el tercer párrafo.

Así que $$T \cdot K \cdot L^2/(4 \pi) \geq L^2$$ y deducimos que $$T \geq 4 \pi/K \geq \epsilon$$ como se desee. Esto demuestra el lema.

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Ahora que tenemos el lema, podemos encontrar tal $(V,U, \epsilon)$ por cada $x \in M$ . Podemos encontrar un número finito de $V$ 's con cubierta $X$ y, tomando el mínimo de las finitas $\epsilon$ 's, encontramos que $X$ no tiene ciclos no triviales de longitud $< \epsilon$ . QED

Answer 2

Creo que he encontrado una aproximación más elemental al problema, así que la publicaré para quien pueda estar interesado (y quizá para comprobar si no he cometido algún error tonto).

La idea es bastante sencilla: Aproximo el flujo al primer orden y lo utilizo para obtener un límite inferior en los períodos de los puntos no fijos.

Propuesta : Dejemos que $X$ sea un campo vectorial suave en $\mathbb R^n$ tal que $|X|$ y $|dX|$ están acotados. Entonces hay un $\tau >0$ tal que para todo $0<t<\tau$ : $$\theta(t,p) = p \quad \iff\quad X(p) = 0$$

Prueba: Por expansión de Taylor tenemos

$$\theta(t,p) = p + tX(p) + \int_0^t (t-\tau) \; dX\left(\theta\left(\tau,p\right)\right) X\left(\theta\left(\tau,p\right)\right) \; d\tau$$

Al elegir $t_0$ lo suficientemente pequeño, podemos suponer

$$\left|X\left(\theta\left(\tau,p\right)\right)\right| \le 2\left|X(p)\right|$$

para todos $p\in \mathbb R^n$ y $0\le \tau \le t < t_0$ .

Editar: Como ha señalado David Speyer en los comentarios, la existencia de tal $t_0$ no está tan claro como había pensado inicialmente. Para ver que tal $t_0$ existe, suponemos que $|dX|<M$ para algunos $M>0$ y $|X| < \tilde M$ . Por Taylorexpansión tenemos

$$\left|X\left(\theta\left(\tau,p\right)\right)\right| \le |X(p)| + \tau M |X\left(\theta\left(s,p\right)\right)|$$

donde $s \in [0,\tau]$ se elige para maximizar $|X\left(\theta\left(s,p\right)\right)|$ . Ahora dejemos que $t_0 := 1/(2M)$ . Al iterar el mismo argumento con $|X\left(\theta\left(s,p\right)\right)|$ obtenemos la estimación

\begin{align*} \left|X\left(\theta\left(\tau,p\right)\right)\right| &\le |X(p)| + \tau M \; \big(\; |X(p)| + \tau M |X\left(\theta\left(s,p\right)\right)|\; \big) \\ &\vdots \\ &\le \sum_{k=0}^\infty \left(\tau M\right)^k |X(p)| + \lim_{k\to \infty} (\tau M)^k\tilde M \\ &\le 2|X(p)| \end{align*}

Ahora definamos $$\Phi(t,p) = p + t X(p)$$ A partir de lo anterior y de las propiedades de $X$ Hay un poco de $C>0$ y $t_0>0$ tal que para $0<t<t_0$

$$|\theta(t,p) - \Phi(t,p) | = \left|\int_0^t (t-\tau) \; dX\left(\theta\left(\tau,p\right)\right) X\left(\theta\left(\tau,p\right)\right) \; d\tau\right| \le C|X(p)|t^2$$

para todos $p$ . Pero entonces

\begin{align*} |\theta(t,p) - \theta(0,p)| &\ge |\Phi(t,p) - \theta(0,p)| - |\theta(t,p) - \Phi(t,p)| \\ &\ge t|X(p)| - t^2C|X(p)| \\ &= t|X(p)| (1 - Ct) \end{align*}

Así que si $p$ es un punto tal que $\theta(T,p) = \theta(0,p)=p$ se deduce que $X(p)=0$ o $T \ge C^{-1}$ . Demostrando la proposición.