Un problema de distancia concisa

Question

Falsamente la simple geometría Euclidiana problema:

Puntos $A$, $B$, $C$ son colineales; $\|AB\|=\|BD\|=\|CD\|=1$; $\|AC\|=\|AD\|$.
¿Cuál es el conjunto de posibles $\|AC\|$ ?

Estoy después de un concisa respuesta, con el razonamiento, que sería la de obtener el máximo de puntos a un 11^ºgrado.

Una relacionada con la pregunta pide a un nivel adecuado para el problema (redactado en menos de términos matemáticos y por lo tanto reduce a distintos puntos).

_{Para comprobar su respuesta: el promedio de los elementos del conjunto de soluciones a la presente pregunta es $\approx 1.08$}.

Answer 1

Si $D$ estaba en la línea $AB$, luego $D = A$, $B = C$, o $A, B, D, C$ lo haría en una línea (en el orden). $D = A$ es imposible, ya que implicaría $C = A$$||CD|| = 0$, e $B = C$ es imposible, ya que implicaría $||AD|| = 2$pero $||AC|| = 1$. El último caso es imposible, porque $||AC|| \neq ||AD||$.

Por lo tanto, $D$ no es colinear con $A, B, C$. Además, $C \neq A$.

(edit: Cuando $C = A$, $||CB|| = ||BD|| = ||DC|| = 1$, así que un ᅟequilateral triángulo $\triangle CBD$ puede ser formado.)

Si $C$ estaba dentro de $AB$, ya que el $D$ está en un círculo con centro de $A$ y radio de $||AC||$, la proyección de $D$ $AB$ debe ser de entre $A$$C$. Sin embargo, desde la $||BD|| = ||CD||$, la proyección de $D$ debe estar ubicado en el punto medio de la $BC$. Por lo tanto, es imposible.

Por lo tanto, cualquiera de las $C$ se encuentra en [1] ray $AB$ - $AB$, o [2] ray $BA$ - $AB$.

El primer caso

$\angle BAD = \angle BDA$ desde $||AB|| = ||BD||$. $\angle DBC = \angle DCB$ desde $||BD|| = ||CD||$. Desde $\angle DBC = 2 \angle DAB$, la suma de los ángulos internos del triángulo $ADC$ puede ser calculada por la

$$\angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 5 \angle DAC = 180°$$

Por lo tanto, $\angle DAC = 36°$. Ahora, desde la $\triangle ACD \sim \triangle DBC$,

$$||AC|| : ||CD|| \equiv ||DB|| : ||BC||$$ $$||AC|| : 1 \equiv 1 : ||AC|| - 1$$

Y ahora $||AC||$ puede ser calculado mediante la resolución de una ecuación cuadrática y el hecho de que $||AC|| > 1$.

El segundo caso

Hacer la misma cosa. Pero ahora $||BC|| = ||AC||+1$.

Answer 2

W. l.o.g. elegir las coordenadas de la siguiente manera:

$$\begin{align*} A &= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} & B &= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} & C &= \begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix} & D &= \begin{pmatrix}\frac{x+1}2\\ \sqrt{x^2-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}\end{pmatrix} \end{align*}$$

Punto de $D$ es elegido en la mediatriz de $BC$. Esta bisectriz sólo está definida de forma única y un requisito estricto si $B\neq C$, para el caso de $B=C$ tendrá que ser tratado por separado. Además, es elegido a distancia$x$$A$. De modo que las coordenadas ya van a garantizar las siguientes condiciones:

$$\begin{align*} \lVert AB\rVert &= 1 & \lVert BD\rVert &= \lVert CD\rVert & \lVert AC\rVert &= \lVert AD\rVert \end{align*}$$

Ahora todo lo que queda es la condición $\lVert BD\rVert = 1$ o, equivalentemente,$\lVert CD\rVert = 1$. Voy por el segundo.

$$\begin{align*} 1 = \lVert CD\rVert^2 &= \left(x-\frac{x+1}2\right)^2 + \left(\sqrt{x^2-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}\right)^2 \\&= \left(\frac{x-1}2\right)^2 + \left(x^2-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2\right) \\ 4 &= \left(x^2-2x+1\right) + \left(4x^2-x^2-2x-1\right) \\ 0 &= 4x^2 - 4x - 4 = x^2 - x - 1 \\ x_{1,2} &= \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} \\ x_1 &= \frac{1-\sqrt5}2 \approx -0.618 \\ x_2 &= \frac{1+\sqrt5}2 \approx 1.618 \end{align*}$$

El caso especial de $B=C$ da una tercera solución $x_3=1$ describiendo $C$, vinculado a un punto de $D_3=\begin{pmatrix}\frac12\\\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}$ (a pesar de estas coordenadas de $D_3$ no son necesarios para responder a la pregunta). La longitud solicitada es el valor absoluto de a $x$, por lo que la solución final es

$$\lVert AC\rVert = \lvert x\rvert \en \left\{ \frac{\sqrt5-1}2, 1, \frac{\sqrt5+1}2 \right\}$$

La idea de la elección de coordenadas apropiadas, sin pérdida de generalidad que probablemente será el más problemático concepto. Si los estudiantes serán capaces de pensar en esto por su cuenta, en particular, en un examen de la situación, depende mucho de los detalles de su educación. Después de eso, las posibilidades son buenas de que muchos se pierda el caso especial, ya que las coordenadas (como tal vez se deriva de un boceto de un no-degenerada situación) parecen perclude una tercera solución. El cálculo de $x$ por otro lado debería ser bastante sencillo, una vez llegado a este punto.