Cuando dos distribuciones tienen la misma varianza y forma, ¿las llamamos idénticamente distribuidas independientemente de su media (ya que ésta suele ser un parámetro de localización)?
Gracias
Para ser precisos, hago esta pregunta porque un ejemplo en la conferencia. Consideremos $\Omega = [0,1]$ con $\textbf{P}\sim U[0,1]$ . Sea $X_n := \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]}, X:=\textbf{1}_{[\frac{1}{2},1]} $ demostrar que $X_n \xrightarrow{d} X$
$[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]$ para la primera función indicadora y $[\frac{1}{2},1]$ para el siguiente.
@user1292919 Si esto es lo que querías preguntar, el presente post es espectacularmente inadecuado para la tarea, me temo...
Nosotros nunca llamar a dos distribuciones idénticamente distribuidas.
Finalmente llamamos a dos variables aleatorias $X,Y$ idénticamente distribuidos.
Esto si tienen la misma distribución, es decir, si $P_X=P_Y$ donde $P_X$ representa la probabilidad inducida prescrita por $A\mapsto P(\{X\in A\})$ en los conjuntos medibles por el borde $A$ .
A suficiente condición para esto es $F_X=F_Y$ donde $F_X$ denota la FCD de $X$ .
Esta condición también es necesaria ya que $F_X$ es en realidad una restricción de $P_X$ a conjuntos específicos medibles por Borel. Este hecho es menos interesante, pero vale la pena mencionarlo como muestran los comentarios sobre esta cuestión.
Cosas como la media, la varianza y la forma (sospecho que te refieres a la gráfica de una eventual PDF) están -si es que existen- completamente determinadas por la distribución.
Y la condición $F_X=F_Y$ que mencionas es a la vez suficiente y necesaria, por lo que esta respuesta es "compatible" con la respuesta de Artem Mavrin.
La probabilidad asignada a cada evento del conjunto debe ser la misma. En el caso de que los números reales sean el conjunto de resultados, la respuesta de Artems es buena, ¡pero no todas las probabilidades se asignan a números reales! Por ejemplo, si se lanzan dos monedas idénticas $A,B$ entonces si
$$\cases{P(A=heads) = P(B=heads)\\P(A=tails) = P(B=tails)}$$
y sabemos que $\Omega = \{heads,tails\}$ entonces se distribuyen de forma idéntica. Pero ni la "cara" ni la "cola" son números reales.
Por otra parte, siempre se puede tomar como espacio de probabilidad de base $[0,1]$ con la medida de Lebesgue.
Pero necesitamos alguna forma de ordenar los elementos del conjunto de nuestro espacio, ¿no? Para saber en qué parte del intervalo aparecen.
En realidad no, es un punto de vista más bajo del que deberías adoptar. La forma más fácil de ver que esto funciona es recordar que una variable aleatoria $X$ con función cuantil $Q_X$ tiene la misma distribución que $Q_X(U)$ donde $U$ es $U(0,1)$ . Así, dada una v.r. en un espacio de probabilidad general, podemos construir su función cuantil $Q_X$ y luego obtener una v.r. con la misma distribución definida en $[0,1]$ con la medida de Lebesgue. De hecho, así es como funcionan la mayoría de las técnicas de muestreo numérico. (Algunas, como el algoritmo de Box-Muller, utilizan una variante de esta técnica, pero todas funcionan básicamente con esta idea).
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No. $\qquad \qquad$
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@ZacharySelk ¿Entonces qué quiere decir con idénticamente distribuido?
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Los medios también tienen que ser los mismos.
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¿Qué significa "forma"?
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@bof Algunas funciones $f$ y $g$ tienen la misma forma si existe $(a,b,c)$ con $a>0$ y $b$ distinto de cero tal que $f(x)=ag(bx+c)$ para cada $x$ .
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@Did Gracias. Y las funciones de las que hablamos aquí son las funciones de distribución acumulativa de variables aleatorias, ¿no?
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@bof Tal vez. Yo más bien pensaría en densidades. Por ejemplo, la forma de reloj de una distribución normal.
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@bof Más bien los PDF, pero esto también funciona con los CDF.