Productos semidirecto con brecha

Question

Me pregunto cómo especificar al boquete que homomorfismo a utilizar al construir un producto semidirecto. Estoy tratando de que construir $\left(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p\right)\rtimes_\varphi S_3$. Desde $\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p\right)\cong GL_2(\mathbb{F}_p)$, quiero especificar $\varphi:S_3\rightarrow\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p\right)$ $\varphi:S_3\rightarrow GL_2(\mathbb{F}_p)$ elemento por elemento (es decir, dar una matriz de 2 x 2 para cada elemento de la $S_3$).

Quiero hacer esto sólo para grupo multiplicaciones elemento rápidamente. Obviamente te especifico $p$ cuando sea necesario.

Soy bastante nuevo en la brecha, así que agradecería una respuesta de bajo nivel (o referencia).

Answer 1

En caso de que aún no tienen una respuesta: Desea utilizar la BRECHA de comandos SemidirectProduct( <g>, <hom>, <n> ). Aquí, <hom> es un grupo homomorphism del grupo <g> a la automorphism del grupo <n>. En la BRECHA de este podría tener este aspecto (por $p=7$):

gap> h := CyclicGroup(7);;
gap> g := DirectProduct( h, h );;
gap> aut := AutomorphismGroup( g );;
gap> iso := IsomorphismGroups( GL(2,7), aut );;
gap> s := SymmetricGroup(3);;
gap> GeneratorsOfGroup( s );
[ (1,2,3), (1,2) ]
gap> hom := GroupHomomorphismByImages( s, GL(2,7), GeneratorsOfGroup( s ), [ a, b ] );
[ (1,2,3), (1,2) ] -> [ [ [ Z(7)^0, 0*Z(7) ], [ 0*Z(7), Z(7)^0 ] ], [ [ Z(7)^0, 0*Z(7) ], [ 0*Z(7), Z(7)^0 ] ] ]

a y b son tus imágenes favoritas de (1,2,3) y (1,2), respectivamente. Elegí One(GL(2,7)) porque soy un vago. Tenga en cuenta que usted tiene que decirle a la BRECHA que sus matrices son más de $\mathbb{F}_p$. Afortunadamente, esto se puede hacer de la siguiente manera:

gap> a := [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ] ] * One( GF(7) ); 
[ [ Z(7)^0, Z(7)^2 ], [ Z(7), Z(7)^4 ] ]
gap> a in GL(2,7);
true

Ahora usted puede componer hom y iso y definir su semidirect producto:

gap> semi := SemidirectProduct( s, CompositionMapping( iso, hom ), g );
<pc group with 4 generators>