Convergencia puntual pero no uniforme de una serie de Fourier

Question

¿Cuál es un ejemplo de continuo o mejor aún, diferenciable, $2\pi$ (o 1) función periódica cuya serie de Fourier converge puntualmente pero no uniformemente? (Dicha función no puede ser de la clase Hölder, ni absolutamente continua).

Answer 1

Considera:

$$f_{n,N}(z) = \sin(Nx) \sum_{k = 1}^n \frac{\sin(kx)}{k}$$

Ahora considere

$$\sum_k \frac{1}{k^2} f_{2^{k^3}, 2^{k^3 - 1}}(z)$$

Ahora para $x = \pi / (4n)$ y $N = 2n$ conseguimos que

$$\sin(\pi/4) \sum_1^n \frac{1}{k} > \frac{1}{\sqrt{2}} \log n$$

Así que tenemos para algunos $x$ que

$$|s_{n_k + 1} - s_{n_k}| \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{k^2} \log n_k$$

Así que no podemos tener una convergencia uniforme. Creo que esto se debe a Hugo Steinhaus.

Espero no haberme equivocado, pero es en esta línea, puedo corregirlo si he cometido un error.