Aquí está un primer intento:
Suponga que $$g:\quad (x,y)\mapsto g(x,y):=\sum_{j,k\geq 0} a_{jk}\, x^j y^k$$ is a real analytic function defined in the unit disk $D:=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2<1\}$ y que
$$f(r,\phi):=g(r\cos\phi, r\sin\phi)\qquad(r\geq0,\ \phi\in{\mathbb R})\ .$$
¿Qué podemos decir acerca de $f\,$?
De inmediato podemos decir que $f$ es un verdadero analítica de la función de $r$ $\phi$ definido por $-1<r<1$ y todos los $\phi\in{\mathbb R}$; por otra parte $f$ $2\pi$- periódico en $\phi$, e $f(-r,\phi)\equiv f(r,\phi+\pi)$. Pero hay más a él.
Poner
$$z:=x+i y=r e^{i\phi}\ ,\quad \bar z:=x-i y= r e^{-i\phi}$$
podemos escribir $g$ en forma
$$g^*(z,\bar z)=\sum_{j,k} c_{jk}\, z^j \bar z^k=\sum_{l\geq 0} r^l \ T_l(\phi)$$ donde
$$T_l(\phi)=\sum_{j,k\geq 0;\ j+k=l} c_{jk}e^{(j-k)\phi}\ .$$
Por lo tanto, podemos concluir lo siguiente: La representación polar $f$ $g$ es necesariamente de la forma
$$f(r,\phi)=\sum_{l=0}^\infty r^l\ T_l(\phi)\ ,$$
donde $T_l(\cdot)$ es un trigonométricas polinomio de grado $\leq l$ que satisface $T(\phi+\pi)=(-1)^lT(\phi)$. Yendo hacia atrás, es fácil ver que cualquier $f$ es la representación polar de un verdadero analítico $g:\ (x,y)\mapsto g(x,y)$.
El $C^m$-caso no es tan fácil. Si queremos $g$ $C^m$ $f=g\circ{\rm rect}\ $ tendrá que ser en $C^m$ también. Como $g$ es en, al menos, $m$ veces diferenciable en a $(0,0)$ ha $$g(x,y)=\sum_{j,k=0}^m a_{jk}\, x^j y^k + o(r^m)\qquad (r\to 0)\ .$$ de ello Se sigue que necesariamente
$$f(r,\phi)=\sum_{l=0}^m r^l T_l(\phi)+o(r^m)\qquad (r\to 0)\ ,$$
donde el $T_l$ son como antes. Pero esto no es suficiente para garantizar la continuidad de los derivados de la $g$. En el caso de $m=1$ la respuesta completa se ve de la siguiente manera:
La función de $f$ es la representación polar de un $C^1$ función de $g$ definida en una vecindad del origen iff hay constantes $a$, $b$, $c$ y un $C^1$-función de $R$ tal que
$$f(r,\phi)=c + a\, r \cos\phi+b\, r\sin\phi +R(r,\phi)\ ,$$
$$R(0,\phi)=0,\quad R_r(0,\phi)=0, \qquad R_\phi(r,\phi)=o(r)\quad(r\to0).$$
Prueba. Vamos $g(0,0)=:c$, $g_x(0,0)=:a$, $g_y(0,0)=:b$, y poner
$$h(x,y):=g(x,y)- ax - by\ , \quad R(r,\phi):=h(r\cos\phi,r\sin\phi)\ .$$
Los hechos $h(0,0)=h_x(0,0)=h_y(0,0)=0$ junto con las ecuaciones
$$R_r=h_x\cos\phi + h_y\sin \phi\,\qquad R_\phi=r\ (-h_x\sin\phi + h_y\cos\phi)$$
muestran que las condiciones establecidas en ($a$, $b$, $c$ y) $R$ son necesarios, y los dos ecuaciones
$$h_x= R_r\cos\phi-{1\over r}R_\phi\sin\phi\ ,\qquad h_y=R_r\sin\phi +{1\over r}R_\phi\cos\phi$$
muestra que estas condiciones son también suficientes para garantizar la continuidad de $h_x$, $h_y$, resp., $g_x$, $g_y$.
