Ayudar a identificar esta serie

Question

Estoy obteniendo los siguientes de la serie como una solución analítica de un problema mediante un diferencial de tiempo $dt$

$$h(t) = \lim_{n\rightarrow\infty}_{m\rightarrow-\infty}_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{i=m}^n f(t-i\ \Delta t)\ g(i\ \Delta t)\ \Delta t$$

$f(t)$ is a function defined completely in $\mathbb{R}$.

I'm deriving expressions from scratch, and got stuck at this step. Does this series seem familiar to you in any way? Is there a way to lose the limit and summation expressions? I'd appreciate small hints.

Some background: water resources

It is based on the method of constructing arbitrary hydrographs from unit hyetographs in water resources. Basically, you have a function $i(t)$ that defines the amount of rainfall over a basin, and $u(t)$ that defines the water discharge through an exit point. Note that both are functions of time. $u(t)$ is also a functional of $i(t)$. A unit hyetograph is a function of $t$ se define a través de: $$i_u(t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \quad t<0 \ \ {\rm or}\ \ t>\Delta t\\ 1 & \quad t>0\ \ {\rm and}\ \ t<\Delta t \end{array} \right. $$

The corresponding hydrograph is obtained empirically. Just suppose that there is a function $u_u(t)$ that corresponds to this unit hyetograph. Note that the only characteristic of $i_u(t)$ is $\Delta t$.

Now that we have defined a unit hyetograph $i_u(t)$, we want to construct $u(t)$ from arbitrary $i(t)$ by superposition, which explains why $u(t)$ is defined as a functional of $i(t)$ and $u_u(t)$.

Below is a visual example (Implemented in MATLAB):

After Vincent Tjeng's answer, I've considered taking the convolution of both functions. I've used the conv function from MATLAB. The result can be seen in the following figure. I've taken $\Delta t=0.25$ para demostrar cómo la expresión de la serie converge a la convolución:

EDIT: No-cálculo ejemplo en el tema:

1. La unidad de hyetograph y la correspondiente hidrograma unitario se dan.
2. Un arbitrario hyetograph es dado. Para determinar la correspondiente hidrograma, el hidrograma unitario se multiplica por 2, compensado por $t_r$. Esto es igual a $u(t)=u_u(t)+2\ u_u(t-t_r)$. La serie anteriormente, se obtiene en forma similar.
3. Los dos pasos son sumados.
4. El hidrograma resultante.

Algunas observaciones: en Este ejemplo (que sigue la convención por todos los ingenieros), se define más de un discreto paso de tiempo $\Delta t = t_r$. Sin embargo, ahora me doy cuenta de que mientras yo estoy tratando de obtener una matemática general de la solución, estoy terminando con un sistema donde el $t_r$ es diferencial. Además, ahora me doy cuenta de que la expresión deriva por encima de assumues $i_u$, el hidrograma unitario es igual a la función Delta de Dirac, que no es el caso en la práctica. Sin embargo, creo que el siguiente párrafo en la Wikipedia:

Un hidrograma unitario instantáneo es un refinamiento de la concepto; para un IUH, la entrada de las lluvias se supone que todos tienen lugar en un discreto punto en el tiempo (obviamente, este no es el caso de real tormentas). Hacer esta suposición puede simplificar en gran medida el análisis de involucrados en la construcción de un hidrograma unitario, y es necesario para la creación de un geomorfológico, el hidrograma unitario instantáneo.

Parece que he conseguido reinventar la rueda.

Answer 1

Esto me parece más una convolución de dos funciones de $f(t), g(t)$.

$$h(t) = \lim_{n\rightarrow\infty}_{m\rightarrow-\infty}_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{i=m}^n f(t-i\ \Delta t)\ g(i\ \Delta t)\ \Delta t=\int^\infty_{-\infty}f(t-\tau)g(\tau)\, d\tau$$

Using the Hyetograph as $f(t)$, and defining $g(t)$ as $$g(t)=\begin{cases} 0 & t<0, t>1 \\ 1 & 0 \le t \le 1 \end{cases}$$

Convolving your Unit Hyetograph gives me a graph similar to yours:

However, convolving your Arbitrary Hyetograph gives me this constructed Hydrograph instead, and I'm wondering whether I understood your question wrongly.

My arbitrary Hyetograph as I define it is as follows:

$$f(t)=\begin{cases} 0 & t<0, t>6 \\ 2 & 0 \le t<2 \\ 3 & 2 \le t<4 \\ 1 & 4\le t<6 \end{cases}$$

Edit: Como se pide, aquí está mi código de Mathematica. Yo uso la versión 9.0.

hyetograph = 
  Function[t, 
   Piecewise[{{0, t < 0}, {2, 0 <= t < 2}, {3, 2 <= t < 4}, {1, 
      4 <= t < 6}, {0, t >= 6}}]];
Plot[{hyetograph[t], g[t]}, {t, 0, 10}, AxesLabel -> {"Time", ""}, 
 PlotLegends -> {"hyetograph[t]", "g[t]"}]
g = Function[t, HeavisidePi[t - 1/2]];
hydrograph = Convolve[hyetograph[t], g[t], t, y];
Plot[hydrograph, {y, 0, 10}, AxesLabel -> {"Time", ""}, 
 PlotLegends -> {"hydrograph[t]"}]

Answer 2

Usted probablemente querrá la $\frac 1n$ dentro del límite. Esto hace que $n$ en una variable ficticia. A continuación,$\lim_{n \to \infty}\frac 1n \sum f(t+dt)=f(t+dt)$. A menos que usted tenga un término que resta de este, puede dejar que el $dt$ cero y conseguir $f(t)$