Sobre el término $-\nabla_{[u,v]}w$ en la definición del tensor de curvatura de Riemann

Question

Como sabemos, en la definición del tensor de curvatura de Riemann, requerimos

$$ R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w-\nabla_{[u,v]}w $$

¿Podría alguien decirme por qué necesitamos $-\nabla_{[u,v]}w$ que aparecen en esta definición. ¿Hay algún significado geométrico en ella? Porque el significado geométrico de $\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w$ es bastante claro, pero para $-\nabla_{[u,v]}w$ No me siento tan directa.

En mi opinión, porque $[u,v]=\cal L_u v$ entonces $-\nabla_{[u,v]}w=-\nabla_{\cal L_u v}w$ . Así que parece que este término es una especie de corrección de $\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w$ para neutralizar los efectos de los campos vectoriales. Esta es una corazonada muy ingenua. ¿Podría darme una respuesta más clara?

Answer 1

Si $u,v,w$ son los campos vectoriales $\partial_i,\partial_j,\partial_k$ entonces el término $\nabla_{[\partial_i,\partial_j]}\partial_k$ desaparece. Esto se debe a que $[\partial_i,\partial_j]=0.$

Sin embargo, esto no es válido para vectores arbitrarios. Nótese que en el tensor de curvatura de Riemann intervienen segundas derivadas de un vector. Por lo tanto:

$$\nabla_u (\nabla_v w)=(\nabla_u \nabla_v)w+\nabla_{\nabla_uv}w,$$ o de forma equivalente

$$(\nabla_u \nabla_v)w=\nabla_u (\nabla_v w)-\nabla_{\nabla_uv}w.$$

Eso es,

$$(\nabla_u \nabla_v)w-(\nabla_v \nabla_u)w=\nabla_u (\nabla_v w)-\nabla_{\nabla_uv}w-\nabla_v (\nabla_u w)+\nabla_{\nabla_vu}w \\ =\nabla_u (\nabla_v w)-\nabla_v (\nabla_u w)-\nabla_{[u,v]}w.$$

Answer 2

Es necesario, porque $\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w$ no es un tensor.