Malentendido de la estimación de Monte Carlo Pi

Question

Estoy bastante seguro de que entiendo el funcionamiento de la integración de Monte Carlo, pero no estoy entendiendo la formulación de cómo se utiliza para estimar Pi. Me guío por el procedimiento descrito en la 5ª diapositiva de esta presentación http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Entiendo los pasos preliminares. Pi es igual a 4 veces el área de un cuarto del círculo unitario. Y el área del cuarto superior derecho del círculo unitario centrado en (0,0) es equivalente a la integral de la curva que es el cuarto superior derecho del círculo unitario en $0<x<1$ y $0<y<1$ .

Lo que no entiendo es cómo esta integral es

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

donde $P(x,y)$ se distribuye uniformemente en el cuadrado unitario alrededor del cuarto de círculo (es decir, siempre es igual a 1 si $0<x<1$ y $0<y<1$ y 0 en caso contrario). Por lo tanto, esto significaría que $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
es la función que es el cuadrante superior derecho del círculo unitario en $0<x<1$ y $0<y<1$ pero no entiendo cómo esto es cierto ya que la función indicadora sólo puede ser 1 o 0. Entiendo que probablemente está escrito de esta manera para facilitar el muestreo de Monte Carlo (es decir, es una expectativa por lo que sólo muestra de $P(x,y)$ y obtener la media de las muestras aplicadas a $I((x^2+y^2)<1)$ ) pero simplemente no tiene sentido intuitivo para mí por qué esa integral representa el área bajo esa curva.

¿Podría alguien dar una explicación intuitiva de esto? ¿Quizá mostrar cómo se ha derivado esa integral de forma escalonada?

EDITAR:

Pude comprender mejor al relacionar la expectativa con un área. Lo explicaré aquí por si le sirve a alguien. Primero empieza relacionando Pi con el área del cuadrante superior derecho del círculo unitario

$\pi=4\times A_{tr}$

Entonces colocamos el cuadrante superior derecho en el cuadrado de la unidad. Y bajo una distribución uniforme sobre el cuadrado unitario, el área del cuadrante del círculo es proporcional a la probabilidad de obtener una muestra del mismo. De ello se deduce que se cumple la siguiente igualdad

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

y $A_{square}=1$ así que

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

Y sustituyendo en la ecuación original

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

y también es cierto que $P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$ que es igual a la integral doble original.

Así que lo entendí relacionando el área con una probabilidad y luego relacionando esa probabilidad con una expectativa que es equivalente a la integral. Dime si he cometido algún error.

Answer 1

El área de un círculo de radio $l$ es igual a $\pi l^2$ . Significa que un cuarto de círculo tiene un área $l^2\pi/4$ . Esto significa que el cuadrado de lado el radio del círculo como $area=l^2$ .

Esto significa que la relación entre el área de un cuarto de círculo y el área del cuadrado es $\pi/4$ .

Un punto $(x,y) $ está en el cuadrado si $ 0<x<1, 0<y<1$ . y está en el cuarto de círculo si $ 0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$ .

Su integral es tan $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$ Esa es exactamente el área descrita por un cuarto de círculo

Answer 2

La explicación intuitiva más sencilla se basa en entender que $E(I(A)) = P(A)$ . Así, $\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$ . Una vez que te das cuenta de que el doble entero es simplemente una probabilidad, debería tener sentido intuitivo que puedas muestrear $x$ y $y$ del cuadrado de la unidad y calcular la proporción de sorteos para los que $x^2 + y^2 <1$ .

Tal vez la otra pieza de la intuición que falta en su comprensión es la conexión entre el área y la probabilidad. Como el área de todo el cuadrado unitario es 1 y los puntos $(x,y)$ se distribuyen uniformemente dentro del cuadrado, el área de cualquier región $A$ dentro del cuadrado unitario correspondería a la probabilidad de que un punto elegido al azar estuviera dentro de $A$ .

Answer 3

He aterrizado en este CV de navegación, y veo que el código del Montecarlo está en Octave. Resulta que tengo una simulación en R que hace que la idea de derivar el número $\pi$ como una distribución uniforme bivariada en el $[0,1]$ plano bajo las restricciones de las integrales en el OP muy intuitivo:

Dado que el cuarto de círculo está encerrado en un cuadrado de 1 unidad, el área es $\pi/4$ . Así que la generación de puntos distribuidos uniformemente en el cuadrado $(x,y)$ acabará alfombrando todo el cuadrado, y calculando la fracción que cumple $1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$ equivaldrá a integrar $\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$ ya que sólo estamos seleccionando la fracción de puntos dentro del círculo en relación con el cuadrado unitario:

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Podemos trazar los valores que caen dentro del radio entre 10.000 sorteos:

Y podemos, naturalmente, obtener una aproximación cada vez más cercana seleccionando más puntos. Con 1 millón de puntos obtenemos:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

un resultado muy aproximado. Aquí está el gráfico: