¿Es correcta esta forma cerrada de $\int_0^1 \operatorname{Li}_3^2(x)\,dx$?

Question

Según papel de Freitas en página $11$.

$$\int_0^1 \operatorname{Li}_3^2(x)\,dx = 20-8\zeta(2)-10\zeta(3)-\frac{15}{2}\zeta(4)-2\zeta(2)\zeta(3)+\zeta^2(3).$$

Evalué la LHS es $0.427714784290824$ me, y el lado derecho es $-15.8071337213762487846272$. ¿Donde estoy equivocado? ¿Es correcta esta forma cerrada? Si no es así, ¿cuál es la forma correcta de cerrado?

Ed. La forma correcta de cerrado es $$\int_0^1 \operatorname{Li}_3^2(x)\,dx = 20-8\zeta(2)-10\zeta(3)+\frac{15}{2}\zeta(4)-2\zeta(2)\zeta(3)+\zeta^2(3).$ $

Answer 1

El trilogarithm tiene la primitiva,

$$\int\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=x\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}-x\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}+x-x\ln{\left(1-x\right)}+\ln{\left(1-x\right)}+\color{grey}{constant}.$$

Integración por partes, encontramos después de la integración de todos los términos con antiderivatives simple:

$$\begin{align} \int_{0}^{1}\operatorname{Li}_{3}^2{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x &=\left[\left(x\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}-x\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}+x-x\ln{\left(1-x\right)}+\ln{\left(1-x\right)}\right)\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}\right]_{0}^{1}\\ &~~~~~ -\int_{0}^{1}\left(x\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}-x\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}+x-x\ln{\left(1-x\right)}+\ln{\left(1-x\right)}\right)\frac{\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\zeta{(3)}-\zeta{(2)}\zeta{(3)}+\zeta{(3)}^2-\int_{0}^{1}\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\operatorname{Li}_{2}^2{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x\\ &~~~~ -\int_{0}^{1}\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\ln{\left(1-x\right)}\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(1-x\right)}\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=4-2\zeta{(2)}-\zeta{(3)}+\frac54\zeta{(4)}-\zeta{(2)}\zeta{(3)}+\zeta{(3)}^2\\ &~~~~ +\int_{0}^{1}\operatorname{Li}_{2}^2{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}\operatorname{Li}_{3}{\left(x\right)}\operatorname{Li}_{2}{\left(x\right)}\,\mathrm{d}x.\\ \end {Alinee el} $$

Para los restantes dos integrales, puede sustituir los valores registrados en el libro que usted citó.

Answer 2

Hay un mal signo, la forma correcta de cerrado es

$$ 20-8\, \zeta \left (2 \right)-10\, \zeta \left (3 \right) + {\frac {15} {2}} \,\zeta \left (4 \right)-2\, \zeta \left (2 \right) \zeta \left (3 \right) + \left (\zeta \left (3 \right) \right) ^ {2} $