Una aplicación del determinante de Vandermonde

Question

Sea $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ números complejos tales que para cada entero positivo $k\geq 0$, $$\sum_{i=1}^n \lambda_i^k=0.$ $ aquí debo mostrar que $\lambda_i=0$ cada $i\in 1,\ldots,n$. Uno de mis amigos dijo que parece que debo utilizar determinante de Vandermonde. He intentado encontrar una versión apropiada de la determinante de Vandermonde que puedo aplicar aquí, pero no he podido. Le agradezco si usted me deja saber una versión adecuada.

Answer 1

Denotar $\mu_1,...,\mu_k$ la no-cero de los distintos valores de $\lambda_i$ (suponiendo que existan), con (no-cero) multiplicidades $m_1,...,m_k$.

Entonces usted tiene $$\sum_{i=1}^km_i\mu_i^p=0, p=1,2,...k $$

Consideramos esto como un sistema con incógnitas $m_i$. Entonces el determinante de este sistema es

$$ V=\left| \begin{matrix} \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_k \\ \mu_1^2 & \mu_2^2 & \cdots & \mu_k^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \mu_1^k & \mu_2^k & \cdots & \mu_k^k \end{de la matriz} \right| $$

Pero ya que este es un determinante de Vandermonde, este determinante es cero si y sólo si uno de $\mu_i$ es cero o no existe $i \neq j$ tal que $\mu_i=\mu_j$. Esta es una contradicción a la forma que hemos elegido $\mu_i$. Por lo tanto, el supuesto de que no todos los $\lambda_i$ cero nos da una contradicción.

Esto demuestra que $\lambda_i=0,\ i=1..n$.

Este determinante es cero, ya que el sistema no tiene solución trivial.

Answer 2

Una manera elegante de resolver esta cuestión sería utilizar este lema

Si $P \in \mathbb{C} [X_1,...X_n]$ es simétrica existe $Q \in \mathbb{C}[X_1,...,X_n]$ tal que $P = Q(\Sigma^1,...,\Sigma^n)$ donde $\Sigma^i(X_1,...,X_n) = \sum_{k=1}^n{(X_k)^i}$.

Que $P = X_1...X_n$. Por el anterior lema $P(\lambda_1,...,\lambda_n) = 0$ porque los tels de hipótesis nos que $\forall i$ $\Sigma^i(\lambda_1,...,\lambda_n) = 0$. Así que al menos uno de lo $\lambda_i$ es $0$.

Y el resultado se sigue por inducción.

Answer 3

Hay que para asumir que cada $\lambda_i$ es distinto de cero. (Sólo ignore los ceros). Supongamos que hay copias de $r_i$ $\lambda_i$. Asumir que $r_i>0$ % todo $i$y $\sum_{i=1}^s r_i = n$.

$k = 1, \cdots, s$, Escriba la ecuaciones %#% $ de #% da una matriz similar a la uno J.D. mencionado en los comentarios excepto con %#% de #% en lugar de 1. Utilice la propiedad de la matriz de Vandermonde para obtener una contradicción a la hipótesis de que existe un cero $$ \sum_{i=1}^s \lambda^k = 0 $.