Ejercicio de módulo máximo

Question

Utilizando el teorema del módulo máximo en el análisis complejo, ¿cuál es una buena técnica para encontrar el máximo de $|f(z)|$ en $|z|\le 1$ cuando $f(z)=z^2-3z+2$ ?

Recibí algunas respuestas muy agradables a continuación, así que pensé en compartir una imagen que muestra algunos contornos de $|z^2-3z+2|$ . Obsérvese que la magnitud sí aumenta a medida que nos alejamos "lo más posible" de los ceros (frase utilizada en la respuesta más abajo). Y, en $z=-1$ Obsérvese cómo el contorno $|z^2-3z+2|=6$ es tangente al círculo $|z|=1$ .

Answer 1

Por el principio del módulo máximo, el máximo está en el círculo unitario $|z| = 1$ . Desde $f$ tiene ceros en $1$ y $2$ se espera que el máximo esté "lo más lejos posible" de ellos, es decir, en $x = -1$ . De hecho, tenemos $f(-1) = 6$ y por la desigualdad del triángulo $$|f(z)| = |z^2-3z+2| \leq |z|^2+3|z|+2 = 6$$ en el círculo unitario. Así que $x=-1$ da un máximo, pero todavía tenemos que demostrar que no hay otros máximos.

Identificación de $\mathbb C$ con $\mathbb R^2$ , escribiendo $z = x+yi$ la función se convierte en $$f(x,y) = (x^2-y^2-3x+2) + (2xy-3y)i$$ y queremos maximizar $$|f(x,y)|^2 = (x^2-y^2-3x+2)^2 + (2xy-3y)^2$$ con la condición de que $x^2+y^2 = 1$ . Podemos expresar $|f(x,y)|^2$ en términos de $x$ sólo, utilizando $y^2=1-x^2$ : $$\begin{align*}|f(x,y)|^2 &= (2x^2-3x+1)^2 + (2x-3)^2(1-x^2)\\ &= 8x^2-18x+10. \end{align*}$$ El único máximo de esto en $[-1,1]$ está en $x = -1$ .