Sea $A,B$ dos subconjuntos de un grupo finito $G$. Si $|A|+|B|>|G|$, muestra que el $G=AB$

Question

Sea $A,B$ dos subconjuntos de un grupo finito $G$. Si $|A|+|B|>|G|$, muestra que el $G=AB$. Mi intento es: desde $|A|+|B|>|G|$, existe un elemento común en ambos conjuntos de $A$ y $B$, decir $g$. Luego ya $G$ es un grupo, por el encierro, $g^2 \in G$, lo que implica que el $G \subset AB$. Let $a \in A$, $b \in B$. Entonces me sale pegado a probar la otra inclusión.

Answer 1

Tomar cualquier $g \in G$. Que $A^{-1} = \lbrace a^{-1}, a \in A \rbrace$. Entonces $\vert A^{-1}g \cap B \vert \gt 0$ contando fácil. Que $b = a^{-1} g$ $a \in A$. Entonces $ab = a a^{-1} g = g$.