Demostrar que el producto de $\dfrac{a_k-a_l}{k-l}$ es un entero

Question

Deje $a_1,a_2,\ldots,a_n$ $n$ distintos números enteros. Demostrar que el producto de todas las fracciones de la forma $\dfrac{a_k-a_l}{k-l}$ donde $n \geq k > l$, es un número entero.

Pensé en primer lugar la determinación de cómo muchas diferencias $a_k-a_l$ son divisibles por $b$.

Suponga que $n_0$ de los enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son divisibles por $b$, $n_1$ rendimiento el resto $1$ al momento de la división por $b$, $n_2$ rendimiento el resto $2$, y así sucesivamente hasta el $n_{b-1}$ enteros el rendimiento de un resto de $b-1$ cuando se divide por $n$. A continuación, se deduce que $$n_0+n_1+n_2+\cdots+n_{b-1} = n.$$ The difference $a_k-a_l$ is divisible by $b$ if and only if $a_k \equiv a_l \pmod{b}$. Now note that the number of differences $a_k-a_l$ divisible by $b$ such that $a_k \equiv a_l \equiv r \pmod{b}$ is $C^2_{n_r} = \dfrac{n_r(n_r-1)}{2}$. It follows that the number of differences divisible by $b$ es exactamente \begin{align*}N &= \dfrac{n_0(n_0-1)}{2}+\dfrac{n_1(n_1-1)}{2}+\cdots+\dfrac{n_{b-1}(n_{b-1}-1)}{2}\\&= \dfrac{n_0^2+n_1^2+n_2^2+\cdots+n_{b-1}^2}{2}-\dfrac{n_0+n_1+n_2+\cdots+n_{b-1}}{2}\\&= \dfrac{n_0^2+n_1^2+n_2^2+\cdots+n_{b-1}^2}{2}-\dfrac{n}{2}.\end{align*}

Answer 1

El siguiente lema soluciona el problema:

Lema: Vamos a $n$ ser un entero positivo y $p$ de una prima. Dado enteros positivos $a_1<a_2<\dots < a_n$ deje $f_p(a_1,a_2,\dots a_n)=v_p(\prod\limits_{1\leq i < j\leq n} a_i-a_j)$. A continuación,$f_p(a_1,a_2,\dots,a_n)\geq f_p(1,2,\dots,n)$.

Prueba: podemos calcular el $v_p(a_1,a_2,\dots a_n)$, de la siguiente manera:

Para cada entero positivo $k$ $0\leq j < p^k$ dejamos $b^j_k$ el número de términos entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ que son congruentes a $j\bmod p^k$.

Deje $c_k=\sum\limits_{j=0}^{p^k}\binom{b_k^j}{2}$.

Luego tenemos a $f(a_1,a_2,\dots a_n)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k$.

Aviso que por la desigualdad de Jensen para los coeficientes binomiales tenemos que $c_k$ es minimizado si y sólo si para cada a $j\neq j'$ tenemos que $|b_k^j-b_k^{j'}|\leq1$. Dado que este es claramente el caso al $a_1,a_2,\dots,a_n=1,2,3,\dots,n$ el lema de la siguiente manera.