¿Es bueno usar el teorema del valor medio en las pruebas de continuidad de $\epsilon-\delta$?

Question

Quería probarme es continua mediante la prueba de $f(x) = \cos(x)$ $\epsilon-\delta$

Par de posts sobre MSE apeló a MVT para resolver este problema.

A saber:

$\exists c \in [x,x_o]$ s.t. $|\cos(x)-\cos(x_o)| = |\sin(c)||x-x_o|$

¡Tada!

Problema aquí es que estamos apelando al hecho de $\sin(x)$ es el derivado de $\cos(x)$.. .que implica necesariamente que $\cos(x)$ es continua.

¿Es "bueno" utilizar MVT en probar una función continua?

Answer 1

Creo que respondiste tu propia pregunta: Estás asumiendo lo que quieres probar $\dots$

Answer 2

La respuesta a la pregunta del título es "No". Como el OP ha afirmado, el MVT asume condiciones más fuerte que el de la continuidad. Y su uso es "lógica circular."

Pensé que sería instructivo para presentar una $\delta-\epsilon$ a prueba. Estar aquí es un ...

SUGERENCIA:

El uso de la Fórmula Prosthaphaeresis

$$|\cos(x)-\cos(x_0)|=2\left|\sin\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\,\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)\right| \tag 1$$

Junto con la desigualdad

$$|\sin(x)|\le x \tag 2$$

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ALERTA de SPOILER el cursor sobre el área resaltada para revelar la solución

A partir de $(1)$ y el uso de $(2)$ a lo largo de con $|\sin(x)|\le 1$ revela $$|\cos(x)-\cos(x_0)|\le |x-x_0|$$Therefore, given $\epsilon>0$, then $$|\cos(x)-\cos(x_0)|<\epsilon$$whenever $|x-x_0|<\delta =\epsilon$. Y hemos terminado!