Esto es parte de una tarea para un verdadero análisis de los estudios que se imparten fuera de "Baby" Rudin." Sólo en busca de un empujón en la dirección correcta, no es una verdadera solución. Vamos a suponer que $f(x)f(y)=f(x+y)$ para todos los reales x e y, y que f es continua y no cero. La primera parte de esta pregunta, permítanme asumir la diferenciabilidad así, y yo era capaz de componer con el logaritmo natural y tomar la derivada para demostrar que $f(x)=e^{cx}$ donde c es una constante real. Estoy teniendo un poco más de problemas sólo suponiendo la continuidad; en la actualidad estoy tratando de probar que f es derivable en cero, y por lo tanto todos los números reales. Es este un enfoque que vale la pena tomar?
Respuesta
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jgifford25
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Desde $f(t)=f(t+0)=f(t)f(0)$ podemos concluir que $f(0)=1$. Si existe un número real $β$ tal que $f(β)=0$, entonces para cualquier número real $x$ hemos
$f(x)=f(β+(x-β))=f(β)f(x-β)=0$
lo que implica que $f$ es idéntica a cero. Por la continuidad de $f$ podemos concluir que $f(x)>0$ para todos los números reales.
Para un entero positivo $n$, $f(n)=f(1+1+...+1)=f(1)f(1)*...*f(1)=f(1)^n$.
Desde $f(-1)=f(1+(-2))=f(1)f(-2)=f(1)f(-1)f(-1)$,
de ello se desprende que $f(-1)=f(1)^{-1}$.
Para un entero negativo $m$, $f(m)=f(-1+(-1)+...+(-1))=f(-1)^{-m}=(f(1)^{-1})^{-m}=f(1)^m$.
Desde $f(0)=1=f(1)^0$, $f(n)=f(1)^n$ tiene para todos los enteros.
Deje $q$ $m$ ser enteros positivos, entonces $f(m)=f(1/q+1/q+...+1/q)=f(1/q)^{qm}=f(1)^m$.
De ello se desprende que $f(1/q)=f(1)^{1/q}$. Esto también llevará a cabo para enteros negativos,$q_1$$m_1$.
A continuación, $f(s/t)=f(1/t+...+1/t)=f(1/t)^s=(f(1)^{1/t})^s=f(1)^{s/t}$, para cualquier número racional.
Desde los racionales son densos en los reales y $f$ es continua, para cualquier número real $x$ podemos encontrar una secuencia $(r_n)$ que convergen a$x$$f(r_n)=f(1)^{r_n}$, por lo que el $f(x)=f(1)^x$ para todos los números reales.
Desde $f(1)>0$ y es un valor real, $\log(f(1))=c$ existe. Entonces:
$f(x)=f(1)^x=(\exp(\log(f(1))))^x=(\exp(c))^x=(e^c)^x=e^{cx}$.
Gracias de nuevo!
