En $1 \otimes_A b= b\otimes_A 1$ implica $b \in A$ ?

Question

Suministro $B$ es una imagen fielmente plana $A$ -y el álgebra, y $b$ un elemento en $B$ . Hace $1 \otimes_A b= b\otimes_A 1$ en $B\otimes_A B$ implica $b \in A$ ?

Answer 1

Sí, $A \to B \rightrightarrows B \otimes_A B$ es exacta. Esto es bien conocido. Se puede demostrar, por ejemplo, de la siguiente manera: La secuencia es split-exact después de tensar con $B$ en $A$ . Pero $B$ es fielmente plana, por lo que esto demuestra la exactitud de la secuencia original.