Núcleo del producto $A\otimes A\rightarrow A$

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con $1$ y deje $A$ ser un conmutativa $R$-álgebra. Vemos a $A\otimes A$ $R$- álgebra, la multiplicación en generatrs dado por $(a\otimes b)(a'\otimes b')= aa'\otimes bb'$.

Denotar por $m: A\otimes A\rightarrow A$ el producto homomorphism, es decir, el mapa que se asigna un generador de $a\otimes b$$ab$.

Mi pregunta es: ¿por qué el núcleo de $m$ generado por los elementos de a $a\otimes 1 - 1\otimes a$ donde $a$ se ejecuta a través de $A$?

La respuesta parece ser tan fácil que no podía encontrar en cualquier lugar en los libros. Por desgracia, no es claro para mí :(

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Sugerencia: Muestre que $a\otimes b - ab\otimes 1$$I$, el ideal generado por los elementos de la forma $x\otimes 1 - 1\otimes x$. Esto se puede hacer fácilmente observando que en el $a\otimes b = (a\otimes 1)(1\otimes b)$, la sustitución de $1\otimes b = b\otimes 1 - (b\otimes 1 - 1\otimes b)$.

A partir de aquí, muestran que cada elemento de a $A\otimes A/I$ puede ser escrito como $x\otimes 1 + I$.

Desde $I$ es un sub-ideal de que el núcleo de su morfismos, su morfismos factores:

$$A\otimes A \to A\otimes A/I \to A$$

Si $I$ no es el kernel, a continuación, $A\otimes A/I \to A$ no $1-1$. Pero cada elemento de a $A\otimes A/I$ puede ser escrito como $x\otimes 1 + I$ y debe ser enviado a $x$. Así que esto es necesariamente $1-1$.

Answer 2

Fácil: $a\otimes b$ en el núcleo, escriba $a\otimes b = (a\otimes 1-1\otimes a)(1\otimes b)$ y hacer

=)