Problema del barco de física vectorial

Question

Un amigo mío me planteó esta pregunta:

Un barco con una velocidad máxima de $5$ metros por segundo cruza un río que fluye a $3$ metros por segundo, y tiene quince metros de ancho. El barco siempre se enfrenta a su objetivo $(0,15)$ . ¿Alcanza el barco su objetivo? Si es así, ¿cuánto tiempo tarda? ¿Cuál es la trayectoria del barco?

Si el barco está en un punto $(x,y)$ , entonces el ángulo $\theta$ al objetivo es $\theta(x,y) = \arctan\left(\frac{15 - y}{x}\right)$ y la velocidad es $v(\theta) = (-3 + 5 \cos \theta) \hat{\imath} + (5 \sin \theta) \hat{\jmath}$ .

No pude encontrar ecuaciones paramétricas, así que escribí un pequeño programa para resolverlo por mí. El programa recorre pequeños intervalos de tiempo, mueve el barco por $v\,\mathrm dt$ y vuelve a calcular la velocidad. El programa se detiene cuando el barco ha llegado al objetivo.

El gráfico de la trayectoria del barco generado por este programa debería aproximarse al gráfico real. El programa encontró que el tiempo empleado es de aproximadamente $4.7$ segundos.

¿Cómo puedo encontrar ecuaciones paramétricas para la trayectoria del barco?

Answer 1

Desde $v(\theta)$ se deduce que $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{3}{5}\operatorname{cosec}\theta+\cot\theta = -\frac{3}{5}\sqrt{1+\cot^2\theta}+\cot\theta $$ Como señaló acertadamente Christian Blatter, $\theta$ debe ser igual a $\theta=-\arctan((15-y)/x)$ desde $x\leq 0$ a lo largo del camino. A continuación, $\cot\theta=-x/(15-y)$ y $$ \frac{\mathrm{d}\cot\theta}{\mathrm{d}y} = -\frac{1}{15-y}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} -\frac{x}{(15-y)^2}=\frac{3}{5(15-y)}\sqrt{1+\cot^2\theta} $$ Podemos integrar esta ecuación utilizando la separación de variables. Después de reordenar el resultado encontramos $$ \cot\theta = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{15}{15-y}\right)^{3/5}- \left(\frac{15-y}{15}\right)^{3/5}\right), $$ donde utilizamos la condición $\cot\theta=0$ en $y=0$ . Introduciendo esta expresión en la primera ecuación e integrando con respecto a $y$ encontramos con $x=0$ en $y=0$ $$ x(y)=-\frac{(15-y)^{2/5}}{2\cdot 15^{3/5}} \left(1-\left(\frac{15-y}{15}\right)^{6/5}\right) $$ La gráfica de esta función tiene el siguiente aspecto

Finalmente con $$\dot y=5\sin\theta = \frac{5}{\sqrt{1+\cot^2\theta}} = \frac{10}{\left(\frac{15}{15-y}\right)^{3/5}+ \left(\frac{15-y}{15}\right)^{3/5}} $$ encontramos que el tiempo que tarda el barco en cruzar la corriente es igual a $$ T = \int_0^{15}\frac{\mathrm{dy}}{\dot y} = \frac{1}{10}\int_0^{15} \left(\frac{15}{15-y}\right)^{3/5}+ \left(\frac{15-y}{15}\right)^{3/5} \mathrm{d}y = \frac{75}{16} $$

Answer 2

EDIT: Si la solución de Heike es correcta (y a mí me parece bien) entonces lo que he hecho a continuación se basa en un malentendido del problema y es mejor ignorarlo.

Si no hubiera corriente, el barco podría llegar a $(3,4)$ en un segundo, ya que ese punto está a 5 metros del origen (que, supongo, es donde empieza el barco). Con la corriente, que empuja el barco 3 unidades hacia la izquierda durante ese segundo, acaba en $(0,4)$ después de un segundo (al intentar alcanzar $(3,4)$ ). Ahora multiplica todo por 15/4. El barco sigue intentando ir en la dirección $(3,4)$ y alcanza su objetivo, $(0,15)$ , después de $15/4=3.75$ segundos.