¿Hay un uso para esta operación binaria?

Question

Para cualquier $a, b \in \mathbb{Z}$ definir

$a * b = a + b + 2ab$

He visto este pop hasta un par de veces en los ejercicios, y me pregunto si hay un nombre para esto (o las variantes similares), y si es siempre útil.

Answer 1

Definir $f\colon \mathbb Z\to\mathbb Z$$f(n) = 2n+1$. A continuación, $f(a)$ $f(b)$ son impares para todos los enteros $a,b$, por lo que su producto es extraño así. Por lo tanto, la expresión $$ f^{-1}\big( f(a)f(b) \big) $$ tiene sentido (aunque $f^{-1}$ no tiene sentido en general). Desde $f^{-1}(m) = (m-1)/2$, llegamos a la conclusión de que $$ f^{-1}\big( f(a)f(b) \big) = f^{-1}\big( (2a+1)(2b+1) \big) = 2ab+a+b. $$ En otras palabras, su operación binaria es el resultado de la asignación de los números enteros en diferentes monoid (es decir, los enteros impares), haciendo la multiplicación allí, y después de la asignación de la espalda. De ello se desprende rápidamente de que esta operación binaria tiene todas las agradables propiedades necesarias para hacer de $\mathbb Z$ un monoid (asociativa, por ejemplo).

Uno puede usar $f(n) = wn+1$ para cualquier entero $w$ - que sólo convierte la operación binaria $a\ast b = a+b+wab$. También se puede utilizar estas operaciones binarias en los números racionales o los números reales (en los casos en que $f^{-1}$ realmente tiene sentido).

Así que creo que este es un buen camino para la construcción de los ejercicios, pero lo contrario no es particularmente útil o natural: es sólo un recalificado monoid en el disfraz.

Answer 2

No sé si esto tiene algún nombre, pero hasta la transformación afín, es el producto habitual (en números enteros). En realidad, para cualquier $\lambda \in \mathbb{Z}$, se podría definir

$$a \, \underset{\lambda}{*} \, b = a + b + \lambda ab$$

y comprobar que

$$1 + \lambda (a \, \underset{\lambda}{*} \, b) = (1 + \lambda a)(1 + \lambda b)$$

Lo que significa que $f_{\lambda} : x \mapsto 1 + \lambda x$ define un morfismos de $(\mathbb{Z} , \underset{\lambda}{*})$ $(\lambda \mathbb{Z}+1, \times)$que es bijective proporcionado $\lambda \ne 0$.

Como para aplicaciones, una operación similar en $\mathbb{R}$ $\lambda = \frac{1}{100}$ aparece cuando se trata con porcentajes : un aumento de $a$ por ciento, seguido por uno de $b$ % equivale a un incremento del $a \, \underset{0,01}{*} \, b = a + b + \frac{ab}{100}$ porcentajes (que proviene del hecho de que un aumento de $a$ por ciento, corresponde a una multiplicación por $f_{0,01}(a) = 1 + \frac{a}{100}$).