Inicial y Terminal de los Objetos en la categoría de plataformas de

Question

Quiero determinar la inicial y terminal de objetos en $\mathsf{Rig}$, la categoría de plataformas (siempre que exista). Realmente no puedo encontrar una fuente, libro o en la web, que se ocupa de esta categoría.

Como un resto: Un aparejo $R$ es un anillo (con identidad), a excepción de ($R, +$) sólo está obligado a ser un conmutativa monoid y tenemos $a0 = 0a = 0$ como un axioma (como que ya no siga a partir de los otros axiomas). Un equipo de morfismos $\varphi : R \rightarrow S$ se define de la manera obvia: $$\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)$$ $$\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$$ para todos los $a,b\in R$, y: $$\varphi(0) = 0$$ $$\varphi(1) = 1$$

Cada anillo es de aparejo. También se $\mathbb{N}_0$, los números enteros no negativos, forma un equipo bajo la suma y la multiplicación.

Yo creo, que la $\mathbb{N}_0$, los números enteros no negativos son la inicial en $\mathsf{Rig}$. El argumento es análogo al argumento, que muestra, que $\mathbb{Z}$ es la inicial en $\mathsf{Ring}$:

Si $\varphi : \mathbb{N}_0 \rightarrow R$ es una plataforma de morfismos, entonces necesariamente tiene:

$$\varphi(n) = \varphi(n\cdot 1) = n\cdot \varphi(1) = n\cdot 1$$ por lo tanto, una de morfismos es único. Además $\varphi : \mathbb{N}_0 \rightarrow R, n\mapsto n\cdot 1$ es de hecho un equipo de morfismos, que puede ser fácilmente verificada. Por lo $\mathbb{N}_0$ es la inicial en $\mathsf{Rig}$.

Yo creo, que un trivial rig $\mathbf{1}$ (el mismo que el de un anillo trivial) es la terminal en $\mathsf{Rig}$, ya que es la terminal en la categoría de monoids, tanto como "aditivo" y "multiplicación" de morfismos, así que para cualquier aparejo $R$ hay un único aparejo de morfismos $\varphi : R\rightarrow \mathbf{1}$. Por lo tanto, $\mathbf{1}$ es terminal en $\mathsf{Rig}$.

Es mi razonamiento correcto?

(Y no es esto una buena caracterización axiomática de los números naturales ;)...)

Answer 1

Como señaló Najib Idrissi en su comentario, su prueba es ACEPTAR. Encontrará más bajo el nombre de semiring.

Aquí está una explicación conceptual de "todo" acerca de la categoría $\mathsf{SemiRing}$: es isomorfo a $\mathsf{Mon}(\mathsf{CMon},\otimes)$. Aquí, $(\mathsf{CMon},\otimes)$ es la categoría monoidal de conmutativa monoids equipado con el producto tensor, que clasifica bilineal mapas en el sentido obvio (similar al caso de abelian grupos), objeto de la unidad de $\mathbb{N}$, asociador como era de esperar, etc. Para cada categoría monoidal $(\mathcal{C},\otimes)$ podemos asociar su categoría de monoid objetos de $\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes)$. Ahora aquí hay algo que me gustaría destacar:

Muchas de las afirmaciones generales de monoids, anillos, semirings, topológico monoids, álgebras de Banach, poleas de los anillos, el anillo de los espectros ... en realidad se derivan de las declaraciones generales acerca de monoid objetos con buen comportamiento monoidal categorías.

La primera observación de este tipo es que el objeto de la unidad de $1$ de una categoría monoidal $(\mathcal{C},\otimes)$ siempre tiene una canónica de monoid estructura (la unidad es $\mathrm{id}_1 : 1 \to 1$, la multiplicación es $\lambda_1=\rho_1 : 1 \otimes 1 \to 1$), y que el resultado de la monoid es un objeto inicial en $\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes)$.

La siguiente observación es que el olvidadizo functor $\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes) \to \mathcal{C}$ crea todos los límites. Si ya sabes la prueba de $\mathcal{C}=\mathsf{Set}$, acaba de copiar. En particular, si $t \in \mathcal{C}$ es un objeto final, luego se lleva a un único monoid estructura (es decir, el único morfismos $1 \to t$$t \otimes t \to t$), y este monoid es el objeto final en $\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes)$.

Estos dos hechos generales aplicados a $(\mathsf{Ab},\otimes)$ resp. $(\mathsf{CMon},\otimes)$ producción inicial y final de los objetos de $\mathsf{Ring}$ $\mathsf{SemiRing}$ a la vez.