¿Hay algo inteligente que pueda hacer con un registro de una suma?

Question

En algo que estoy trabajando, la expresión $$\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(-\frac{1}{n}\log\left(\prod_{i=1}^{n}X_{i}+\prod_{i=1}^{n}Y_{i}\right)\right)$$ surgió, en la que todos $X_{i}$ $iid$ y todos $Y_{i}$ $iid$ . ¿Hay alguna forma de simplificar o reescribir esto de forma agradable, ojalá con respecto a las expectativas/momentos centrales?

Por ejemplo, en otro lugar, la expresión $$\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(-\frac{1}{n}\log\left(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\right)\right)$$ y pude utilizar las propiedades del logaritmo y la ley de los grandes números para obtener $$\exp\left(E[\log(X)]\right)$$ Entonces sustituí en $E[X]+\delta$ para $X$ y utilizamos una expansión de Taylor, que se puede truncar para obtener $$\exp\left(-\frac{\sigma^2_{X}}{2\mu^{2}_{X}}\right)$$ Este es el tipo de cosas que espero que se puedan hacer con la primera expresión que aparece en esta pregunta.

Answer 1

Si estás analizando la suma de medias geométricas entonces, me temo que no puedes ir muy lejos. Puedes intentar aplicar desigualdad de la media geométrica para obtener un límite superior:

$$ \left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{1/n} \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$$

En particular, La prueba de Poyla parece prometedor.

Su expresión inicial es: $$\left(\prod_{i=1}^{n}X_{i}+\prod_{i=1}^{n}Y_{i}\right)^{\frac{1}{n}}$$

Es como una media geométrica, así que tiene que tener límites similares.

Por ejemplo, esto debe tener alguna relación con la media geométrica de una suma $X_i+Y_i$ es decir $\prod_{i=1}^n\left(X_i+Y_i\right)^\frac{1}{n}$