Puede usted tomar Dedekind Recortes de los números reales?

Question

Mi profesor se define Dedekind cortes de la siguiente manera: "Dados dos conjuntos no vacíos E,F $\subset \mathbb{R}$, decimos que el par (E,F) es un Dedekind corte de $\mathbb{R}$ si

1. $E \cap F = \emptyset $
2. $E \cup F = \mathbb{R}$
3. $x < y$ todos los $x \in E$, y para todos los $y \in F$"

Sin embargo, yo estaba bajo la impresión de que Dedekind los recortes podrían ser tomadas de los números racionales, con el fin de construir los números reales. Puede tomar una Dedekind de corte de la recta Real?

Edit: debo mencionar que él definió un cortado de esta manera para que él se declara el siguiente Axioma de Dedekind:

"Para cada una de Dedekind corte (E,F) de $\mathbb{R}$ existe un único $L \in \mathbb{R}$ tal que $x \leq L \leq y$ todos los $x \in E$, y para todos los $y \in F$"

Answer 1

Usted puede tomar Dedekind cortes de cualquier linealmente conjunto ordenado y el uso de ellas para formar el fin de la finalización de ese conjunto. Si usted comienza con un completo orden lineal, sin embargo, como $\langle \Bbb R,\le\rangle$, usted no consigue nada nuevo: la Dedekind finalización es el fin-isomorfo a uno viejo. (Por cierto, es habitual añadir una condición más, que o bien $E$ no tiene máximo del elemento o que $F$ no tiene mínimo del elemento.)

Answer 2

Dado un conjunto ordenado $Q$ sentía "incompleta" que se puede utilizar de Dedekind cortes para completarla: El Dedekind cortes de $Q$ son los pares de $(E,F)$ descrito en la pregunta, con la condición adicional de que $E$ no debe contener un elemento maximal. Denotar el conjunto de los pares por $\bar Q$. Entonces (a) $\bar Q$ es de nuevo ordenó: $(E,F)\leq(E',F')$ si $E\subset E'$; (b) el conjunto de $\bar Q$ es de "orden completa", (c) hay una incrustación $\phi:\ Q\to\bar Q$ respetando el orden: $$q\mapsto (E_q, F_q):=\bigl(\{x\in Q|x<q\}, \{x\in Q|x\geq q\}\bigr)\ ;$$ y (d) $\phi(Q)$ es denso en $\bar Q$. Por lo $\bar Q$ es el "mínimo" pedido conjunto completo que contiene una copia de $Q$.

Esta idea de los recortes es muy útil también en la existencia de pruebas que implican la "orden completa" set ${\mathbb R}$, por ejemplo, en la prueba del teorema del valor intermedio o declaraciones similares. Allí el principio dado por su profesor se aplica: Si se corta a ${\mathbb R}$ en dos por medio de un hacha, a continuación, el hacha va a tocar exactamente un número real $\xi$. Cuando se cortan ${\mathbb Q}$ en dos por un hacha en$\sqrt{2}$, entonces todos los puntos de $x\in{\mathbb Q}$ positivo a la distancia de un hacha.

Answer 3

Que es, sin duda bien definido, y sí, aún se llaman Dedekind cortes. Cada corte es principal (es decir, de cualquiera de E tiene un máximo o F tiene un mínimo), que expresa el hecho de que los reales están completas.

Si uno así lo desea, uno de uso se corta para dar un significado preciso a la idea de especificar los lugares "infinitesimalmente cerca" de los números reales, o la especificación de las formas de acercarse a los números reales: por ejemplo, la corte $0^+ := \left( (-\infty, 0], (0, +\infty) \right)$ es $0$ enfocado desde el lado positivo.

Curiosamente (para mí), si se elimina la condición de que $E$ $F$ son no vacíos, entonces Dedekind cortes en una correspondencia uno a uno con los ordenamientos de $\mathbb{R}(x)$, el campo de funciones racionales con coeficientes reales: la corte especifica la ubicación de $x$ debe ser colocado en el pedido. Así, relativa a la orden definido por $0^+$, $x$ es positivo el elemento infinitesimal.

Answer 4

Una manera de mirar Dedekind cortes es el modelo teórico.

Un Dedekind la finalización de un orden lineal $(X,\le)$ es un mínimo de orden lineal $X'$ contiene $X$ de tal manera que cada tipo de la forma $p_{E,F}(x)=\{e\le x,x\le f\vert e\in E, f\in F \}$ se realiza, donde $E$, $F$ satisfacer las condiciones especificadas. Se puede demostrar que es único hasta un $X$-la preservación de isomorfismo.

Pero, a continuación, se puede observar que si $Y\subseteq X$ es densa, a continuación,$p_{E\cap Y,F\cap Y}\equiv p_{E,F}$, por lo que el Dedekind la finalización de un orden lineal es isomorfo a la Dedekind la finalización de sus densa suborden, o, para decirlo de otra manera, tomando los parámetros de sólo $Y$ (o $\bf Q$ en su caso) no ceder nada menos.