Hay $a,b,c,d\in \mathbb N$, de modo que $a^2+b^2=c^2$, $b^2+c^2=d^2$?

Question

Pregunta:

Hay $a,b,c,d \in \mathbb N$ tal que $$a^2 + b^2 = c^2 \ \ \text{and} \ \ b^2 + c^2 = d^2$$

Estoy un poco perdido aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que $c^2-b^2=a^2$, $c^2+b^2=d^2$ $\Rightarrow$ $c^4-b^4=(ad)^2$. Pero aquí (Wiki) y aquí (MSE) se puede leer que ecuación $$x^4-y^4=z^2$$ no tiene (pairwise coprime) soluciones de $x,y,z\in \mathbb{N}$.

Answer 2

Supongamos que existen tales $a,b,c,d$ $a\le b\le c\le d,$ $$c^2-a^2=d^2-c^2=b^2$$ $$2c^2=a^2+d^2$$ Supongamos que $$a=x-y,\,\,\,\,d=x+y.$$ Then $$c^2=x^2+y^2.$$ Por lo tanto, no existe $A,B$ tal que $$c=A^2+B^2,\,\,\,x=A^2-B^2,\,\,\,y=2AB.$$ Ahora tenemos $$a=A^2-2AB-B^2\le(A-B)^2$$ $$d=A^2+2AB-B^2\le(A+B)^2$$ También se $$c^2-a^2=(A^2+B^2)^2-(A^2-2AB-B^2)^2=4AB(A-B)(A+B)$$ debe ser un CUADRADO PERFECTO.
Eso es todo lo $A,B,A+B,A-B$ se debe ser cuadrados perfectos. Por lo tanto, $$A=a_1^2,\,\,\,B=b_1^2$$

Esto ocurre sólo si $B$ es un cuadrado perfecto y $A=0.$ por lo tanto la única solución es $$a=c=d,\,\,\,\,\,b=0.$$