Conjunto cerrado e incontable de números irracionales

Question

¿Podría construir un ejemplo real de un conjunto incontable de números irracionales que sea cerrado (en el sentido topológico)?

Puedo encontrar ejemplos contables que están cerrados, como $\{ \sqrt{2} + \sqrt{2}/n \}_{n=1}^\infty \cup \{ \sqrt2 \}$ Pero, ¿cómo se construye un ejemplo incontable?

Debe existir al menos un ejemplo incontable, ya que de lo contrario los números racionales forman un conjunto de Berstein y no son medibles.

Answer 1

Aquí hay una construcción alternativa que es un poco más general. Funciona para cualquier subconjunto de comeager $X \subset \mathbb{R}$ . Sea $(U_i : i \in \mathbb{N})$ sea una secuencia de conjuntos abiertos densos tal que $X \subset \bigcap_{i\in \mathbb{N}} U_i$ . (Si $X$ es el conjunto de los números irracionales, entonces podemos tomar $U_i = \mathbb{R} \setminus \{q_i\}$ donde $q_i$ es el $i^\text{th}$ número racional en alguna enumeración fija). Podemos definir una familia de intervalos cerrados no degenerados $I_s$ uno por cada secuencia binaria finita $s$ con las siguientes propiedades:

• Si la secuencia $s$ amplía la secuencia $t$ entonces $I_s \subseteq I_t$

• Si ninguna de las dos secuencias $s$ o $t$ extiende el otro entonces $I_s \cap I_t = \emptyset$

• Si la secuencia $s$ tiene una longitud $n$ entonces el intervalo $I_s$ tiene una longitud $\le 2^{-n}$ y está contenido en el conjunto $U_n$

(Es fácil definir $I_s$ por inducción en la longitud de $s$ . La elección exacta de la definición no es importante). Podemos utilizar este "esquema de Cantor" para definir una incrustación $f$ del espacio de Cantor $2^\mathbb{N}$ en $X$ mediante la asignación de una secuencia binaria infinita $x$ al punto único $f(x)$ en la intersección de la secuencia decreciente de intervalos cerrados $(I_{x \restriction n} : n \in \mathbb{N})$ .

Answer 2

Ejemplo explícito: traslación de un conjunto tipo Cantor.

Consideremos el conjunto de Cantor $$C := \Big\{ \sum \limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_n}{4^n}\ \mid\ (\varepsilon_n)_n \in \{0,1\}^{\mathbb{N}}\Big\}.$$

Es incontable y cerrado. Consideremos ahora el número $$x := \sum \limits_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{4^{n^2}}.$$

El conjunto cerrado que responderá a la pregunta es $$K := x + C = \{x+c,\ c\in C\}$$

En efecto, tomemos un elemento $c$ de $C$ y distinguir dos casos:

• $c$ es racional, en cuyo caso $c+x$ es irracional ya que $x$ es irracional

• $c$ es irracional y puede escribirse de forma única como $c = \sum \limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_n}{4^n}$ con $\varepsilon_n \in \{0,1\}$ para todos $n$ . Entonces la base $4$ representación de $c+x$ es $\sum \limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_n + 2\cdot 1_{\sqrt{n} \in \mathbb{N}}}{4^n}$ . Por lo tanto, los coeficientes en posiciones no cuadradas perfectas son $0$ o $1$ mientras que los coeficientes en posiciones de cuadrado perfecto son $2$ o $3$ . Por lo tanto, la base $4$ representación no puede ser periódica, por lo que $c+x$ no es racional.