Encontrar una f.g. $F[x]$-módulo que no es proyectiva

Question

Yo estaba trabajando a través de un problema que se muestra que para un campo $F$, $F[x]$-módulos corresponden a los pares de $(V,T)$ de espacios vectoriales sobre $F$ y transformaciones lineales en que espacio vectorial.

La última parte de la pregunta para encontrar un finitely generadas $F[x]$-módulo que no es proyectiva.

Los únicos ejemplos que realmente saben de módulos que no son proyectivos son como $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$- módulo, donde yo lo entiendo a no ser proyectiva porque no tiene suficiente homomorphisms salir a $\mathbb{Z}$: cada módulo homomorphism dejando $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tiene que satisfacer $$0=f(0)=f(2\cdot z)=2\cdot f(z)$$ y $2\cdot f(z)$ implica que f(z)=0 en $\mathbb{Z}$. Este es un problema ya que $\mathbb{Z}$ ¿el proyecto en módulos que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ha trivial homomorphisms en (por ejemplo: el sí mismo).

He estado tratando de pensar a lo largo de líneas similares para este caso de finitely generadas $F[x]$ módulos, usando la correspondencia con los pares de $(V,T)$. He estado tratando de pensar en un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$ y una transformación lineal $T_V$, y otro espacio vectorial $W$ con la transformación $T_W$ tales que no son muchos, $F[x]$- módulo homomorphisms $(V,T_V)\to (W,T_W)$.

Sé que tal $F[x]$-módulo homomorphism ha de satisfacer, entre otras cosas, que el $f(T_V \cdot v)=T_W \cdot f(v)$. El uso de la correspondencia con los espacios vectoriales y transformaciones, he estado tratando de pensar en las matrices de $T_V$ $T_W$ que sólo satisfacer $f T_V = T_W f$ muy restringido de opciones de $f$, con la esperanza de una situación análoga a la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ejemplo. Yo no estoy tan segura de que sea una buena idea, aunque ya no sé realmente entender lo importante que es el ejemplo que hay un elemento no trivial ($2$) que aniquila a todos los elementos.

Así que, ¿tiene sentido estar tratando de pensar en ejemplos de esta manera para este caso? Se puede hacer esto para arbitrario $F$ o debo buscar en un campo específico para obtener un ejemplo? ¿Alguien tiene algún ejemplo? (Yo preferiría ser capaz de generar mi propio, pero desde mi repositorio actual de no-proyectiva de los módulos es muy escasa, me gustaría dejar de apreciar las contribuciones.)

Answer 1

Un finitely módulo generado más de un PID (como $F[X]$) es proyectivo si y sólo si es gratis. Sin duda alguna módulo es proyectiva. Por otro lado, si $M$ es su finitely módulo generado y $M$ es proyectivo, entonces para el primer ideal $\mathfrak{p}$ de $F[X]$, $M_\mathfrak{p}$ (la localización de $M$$\mathfrak{p}$) es un finitely generado proyectiva módulo sobre el anillo local $F[X]_\mathfrak{p}$, por lo tanto es libre. En particular, $M_\mathfrak{p}$ es de torsión libre para todos los $\mathfrak{p}$. Desde que tomo el submódulo de torsión es compatible con la localización, esto implica que $(M_{tor})_\mathfrak{p}=0$ todos $\mathfrak{p}$, lo $M_{tor}=0$. La teoría de la estructura de $M$ implica entonces que es gratis. Así que todo lo que necesita hacer es encontrar un $M$ que no está libre, y para eso, sólo tienes que encontrar uno que no está de torsión libre. Por ejemplo, $F[X]/(f)$ donde $f$ es no-constante del polinomio.