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6 votos

Un problema de divisibilidad teorema de

Comprobar que si un entero es, simultáneamente, un cuadrado y un cubo, entonces debe ser de la forma 7k o 7k+1.

No tengo idea sobre cómo proceder.

15voto

Sabyasachi Puntos 6446

Si n es, simultáneamente, un cubo,

n\equiv a^3\equiv -1,0,1\pmod{7}

y un cuadrado

n\equiv t^2\equiv 0,1,4,2\pmod{7}

Por lo tanto, n es 7k o 7k+1

14voto

David HAust Puntos 2696

Supongamos que \,\color{#c00}{a^{k}} =n = \color{#0a0}{b^{k+1}} \ k(k\!+\!1)+1 = p\, es primo. \ \color{#c0d}{\mu F} = Poco de Fermat

mod \,p\!:\ \,n\not\equiv 0\,\Rightarrow a,b\not\equiv 0\,\Rightarrow\ n\equiv\dfrac{n^{\large k+1}}{n^{\large k}\ \ \ \ }\equiv \dfrac{(\color{#c00}{a^{\large k}})^{\large k+1}}{(\color{#0a0}{b^{\large k+1}})^{\large k}}\equiv\dfrac{a^{\large p-1}}{b^{\large p-1}}\,\overset{\color{#c0f}{\mu F}}\equiv\, \dfrac{1}{1}\equiv 1\

Por lo tanto \ n\equiv 0\ o \,1\pmod p,\ es decir \ n = pj\, o \,1\!+\!pj\, algunos \,j\in \Bbb Z.\ \ QED

El tuyo es el caso especial \ k = 2,\, \, p = 7.

6voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

Si un entero a es, simultáneamente, un cuadrado y un cubo, debe ser la sexta potencia de un número entero b

Ahora como 7 es el primer bien 7|b o (7,b)=1

Si 7|b, 7|b^n por entero n\ge1

Otra cosa por Fermat Poco Teorema , 7|(b^{7-1}-1)

4voto

ploosu2 Puntos 2403

Comprobación de los números enteros mod 7. Que son cuadrados y que son cubos:

0^2=0^3=0 1^2=1^3=1 2^2 = 4,\qquad 2^3=8\equiv 1

3^2 = 9 \equiv 2,\quad3^3=27\equiv 6 4^2 = 16 \equiv 2,\quad 4^3= 64 \equiv 1 5^2 = 25 \equiv 4,\quad 5^3= 125 \equiv 6 6^2 = 36 \equiv 1,\quad 6^3=216\equiv 6.

Tan sólo 0, 1, 2 4 son cuadrados, sólo 0, 1 6 son cubos (mod 7). Los que tanto quería dar la respuesta.

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