Un problema de divisibilidad teorema de

Question

Comprobar que si un entero es, simultáneamente, un cuadrado y un cubo, entonces debe ser de la forma ${7k}$ o ${7k +1}$.

No tengo idea sobre cómo proceder.

Answer 1

Si $n$ es, simultáneamente, un cubo,

$$n\equiv a^3\equiv -1,0,1\pmod{7}$$

y un cuadrado

$$n\equiv t^2\equiv 0,1,4,2\pmod{7}$$

Por lo tanto, $n$ es $7k$ o $7k+1$

Answer 2

Supongamos que $\,\color{#c00}{a^{k}} =n = \color{#0a0}{b^{k+1}}$ $\ k(k\!+\!1)+1 = p\,$ es primo. $\ \color{#c0d}{\mu F} =$ Poco de Fermat

mod $\,p\!:\ \,n\not\equiv 0\,\Rightarrow a,b\not\equiv 0\,\Rightarrow\ n\equiv\dfrac{n^{\large k+1}}{n^{\large k}\ \ \ \ }\equiv \dfrac{(\color{#c00}{a^{\large k}})^{\large k+1}}{(\color{#0a0}{b^{\large k+1}})^{\large k}}\equiv\dfrac{a^{\large p-1}}{b^{\large p-1}}\,\overset{\color{#c0f}{\mu F}}\equiv\, \dfrac{1}{1}\equiv 1\ $

Por lo tanto $\ n\equiv 0\ $ o $\,1\pmod p,\ $ es decir $\ n = pj\,$ o $\,1\!+\!pj\,$ algunos $\,j\in \Bbb Z.\ \ $ QED

El tuyo es el caso especial $\ k = 2,\,$ $\, p = 7.$

Answer 3

Si un entero $a$ es, simultáneamente, un cuadrado y un cubo, debe ser la sexta potencia de un número entero $b$

Ahora como $7$ es el primer bien $7|b$ o $(7,b)=1$

Si $7|b, 7|b^n$ por entero $n\ge1$

Otra cosa por Fermat Poco Teorema , $7|(b^{7-1}-1)$

Answer 4

Comprobación de los números enteros mod $7$. Que son cuadrados y que son cubos:

$$0^2=0^3=0$$ $$1^2=1^3=1$$ $$2^2 = 4,\qquad 2^3=8\equiv 1$$

$$3^2 = 9 \equiv 2,\quad3^3=27\equiv 6$$ $$4^2 = 16 \equiv 2,\quad 4^3= 64 \equiv 1$$ $$5^2 = 25 \equiv 4,\quad 5^3= 125 \equiv 6$$ $$6^2 = 36 \equiv 1,\quad 6^3=216\equiv 6.$$

Tan sólo $0, 1, 2$ $4$ son cuadrados, sólo $0, 1$ $6$ son cubos (mod $7$). Los que tanto quería dar la respuesta.