Comprobar que si un entero es, simultáneamente, un cuadrado y un cubo, entonces debe ser de la forma 7k o 7k+1.
No tengo idea sobre cómo proceder.
Comprobar que si un entero es, simultáneamente, un cuadrado y un cubo, entonces debe ser de la forma 7k o 7k+1.
No tengo idea sobre cómo proceder.
Supongamos que \,\color{#c00}{a^{k}} =n = \color{#0a0}{b^{k+1}} \ k(k\!+\!1)+1 = p\, es primo. \ \color{#c0d}{\mu F} = Poco de Fermat
mod \,p\!:\ \,n\not\equiv 0\,\Rightarrow a,b\not\equiv 0\,\Rightarrow\ n\equiv\dfrac{n^{\large k+1}}{n^{\large k}\ \ \ \ }\equiv \dfrac{(\color{#c00}{a^{\large k}})^{\large k+1}}{(\color{#0a0}{b^{\large k+1}})^{\large k}}\equiv\dfrac{a^{\large p-1}}{b^{\large p-1}}\,\overset{\color{#c0f}{\mu F}}\equiv\, \dfrac{1}{1}\equiv 1\
Por lo tanto \ n\equiv 0\ o \,1\pmod p,\ es decir \ n = pj\, o \,1\!+\!pj\, algunos \,j\in \Bbb Z.\ \ QED
El tuyo es el caso especial \ k = 2,\, \, p = 7.
Comprobación de los números enteros mod 7. Que son cuadrados y que son cubos:
0^2=0^3=0 1^2=1^3=1 2^2 = 4,\qquad 2^3=8\equiv 1
3^2 = 9 \equiv 2,\quad3^3=27\equiv 6 4^2 = 16 \equiv 2,\quad 4^3= 64 \equiv 1 5^2 = 25 \equiv 4,\quad 5^3= 125 \equiv 6 6^2 = 36 \equiv 1,\quad 6^3=216\equiv 6.
Tan sólo 0, 1, 2 4 son cuadrados, sólo 0, 1 6 son cubos (mod 7). Los que tanto quería dar la respuesta.
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