Un punto principal que me gustaría señalar es que las uniones conectadas de espacios no conectados son comunes, y se da un ejemplo en página de groupoides que puede utilizar, por supuesto.
Véase también arxiv:1404.0556 para una corrección de una prueba en mi libro sobre la propiedad de Phragmen-Brouwer, con un nuevo resultado útil sobre los empujes de los groupoides.
La virtud del uso de los groupoides no es dar una prueba "bonita" de un resultado sobre los grupos fundamentales, como en algunas exposiciones, sino poder tratar con muchos más ejemplos, de un tipo que normalmente se ignora, ya que tratar de usar métodos de espacios de cobertura se vuelve inmanejable.
Añadiré que en una charla que di en Chicago en 2012 llamé al hecho de que el teorema habitual de van Kampen para el grupo fundamental no calcula el grupo fundamental del círculo, EL ejemplo básico en topología, es un verdadero anomalía . Esta charla, junto con otras, está disponible en mi página de preimpresos.
Edición del 25 de abril: El grupo SvKT me pareció extraño ya que en topología algebraica se suelen obtener secuencias exactas que no dan información completa; sin embargo aquí se calcula $\pi_1(X,A)$ como un colímite que completamente determina cualquier grupo $\pi_1(X,a)$ aunque para encontrarlo hay que hacer algo de trabajo combinatorio. Una razón del éxito parece ser que los groupoides tienen estructura en dimensiones $0$ et $1$ que permite la modelización de encolado $1$ -tipos .
Así que la pregunta era: ¿puede extenderse este principio a dimensiones superiores, utilizando nuevos objetos algebraicos con estructura en dimensiones $0, \ldots,n$ ¿permitiendo el hecho de que las identificaciones en las dimensiones bajas tengan un efecto homotópico en las dimensiones altas? Por lo tanto, la $1$ -El teorema de las dimensiones apuntaba a posibles resultados de mayor dimensión, en los que los invariantes que uno podría desear, como los grupos de homotopía, formaban parte de una estructura mucho mayor que era más computable, lo que permitía algunos cálculos nuevos de invariantes antiguos.
El 3 de septiembre de 2014 doy un enlace aquí a una presentación que hice en el PHI, en París, en un taller sobre Teoría de Tipos de Homotopía, sobre "Las intuiciones de los conjuntos cúbicos en la topología algebraica no abeliana". La charla también trata sobre la noción de composición para estructuras definidas homotópicamente, y sus relaciones con los orígenes de la topología algebraica. Esta charla desarrolla algunos temas de mi charla de 2012 en Chicago.
