Encontrar el límite de $ \frac {Q(n)}{P(n)}$ donde $Q,P$ son polinomios

Question

Supongamos que $$Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_{1}x+a_{0} $$ y $$P(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots +b_{1}x+b_{0}.$$ ¿Cómo encuentro $$ \lim_ {x \rightarrow\infty } \frac {Q(x)}{P(x)}$$ y ¿qué hace que la secuencia $$ \frac {Q(k)}{P(k)}$$ convergen?

Por ejemplo, ¿cómo encontraría lo que la secuencia $$ \frac {8k^2+2k-100}{3k^2+2k+1}$$ converge a ¿O qué es lo que $$ \lim_ {x \rightarrow\infty } \frac {3x+5}{-2x+9}?$$

Esto se pide en un esfuerzo por reducir los duplicados, mira aquí: Lidiar con resumen preguntas duplicadas.

y aquí: Lista de duplicados de resúmenes .

Answer 1

Respuesta corta:

La secuencia $ \displaystyle\frac {Q(k)}{P(k)}$ convergerán en el mismo límite que la función $ \displaystyle\frac {Q(x)}{P(x)}.$ Hay tres casos:

$(i)$ Si $n>m$ entonces se desvía a cualquiera de los dos $ \infty $ o $- \infty $ dependiendo del signo de $ \frac {a_{n}}{b_{m}}$ .

$(ii)$ Si $n<m$ entonces converge a $0$ .

$(iii)$ Si $n=m$ entonces converge a $ \frac {a_{n}}{b_{n}}$ .

Answer 2

Más en general: si una secuencia $a_n$ está dada por los valores de la función $f(x)$ que se define en un intervalo de la forma $(b, \infty )$ , $$a_n = f(n),$$ y el límite de $f(x)$ como $x \to\infty $ existe o es igual a $ \infty $ o $- \infty $ , $$ \lim_ {x \to\infty }f(x) = L, \qquad L \in\mathbb {R} \cup\ { \infty ,- \infty\ },$$ entonces el límite de la secuencia es el mismo que el límite de la función: $$ \lim_ {n \to\infty }a_n = \lim_ {n \to\infty }f(n) = \lim_ {x \to\infty }f(x).$$

Esto se aplica al caso en que $ \displaystyle f(x)= \frac {P(x)}{Q(x)}$ con $P$ y $Q$ polinomios; también a secuencias como $$a_n = \frac { \sin (n)}{n},$$ dado por $ \displaystyle f(x) = \frac { \sin (x)}{x}$ e incluso algunas funciones que son más complicadas. Por ejemplo, $$a_n = \frac {(-1)^n}{n}$$ puede verse como dada por la función $$f(x) = \frac { \cos ( \pi x)}{x}.$$

No obstante, cabe señalar que es posible que el límite de $a_n$ de existir, sino la de $f(x)$ no existir. Por ejemplo, la secuencia $a_n = \sin (n \pi )$ tiene un límite $0$ (porque cada $a_n$ es igual a $0$ ), pero el límite de $f(x)= \sin ( \pi x)$ como $x \to\infty $ no existe.