Un producto tensorial de series de potencias

Question

Sea $k$ sea un campo. Me pregunto si existe una descripción sencilla del anillo

$$k[[x]] \otimes_{k[x]} k[[x]]$$

que es el producto tensorial del anillo de series de potencias $k[[x]]$ consigo mismo sobre el anillo de polinomios $k[x]$ .

Agradeceríamos cualquier sugerencia.

Edito: Como se sugiere en los comentarios pregunto: ¿es este anillo isomorfo a $k[[x]]$ ?

Answer 1

No, los anillos $k[[x]] \otimes_{k[x]} k[[x]]$ y $k[[x]]$ no son isomorfas porque tienen diferentes dimensiones de Krull: $\; \infty$ y $1$ respectivamente

I) El anillo $k[[x]]$ tiene dimensión de Krull uno, ya que es un anillo de valoración discreto.

II) El anillo $k[[x]] \otimes_{k[x]} k[[x]]$ tiene al menos la dimensión de Krull de su localización $k((x)) \otimes_{k(x)} k((x))$ . Por tanto, basta con demostrar que este último anillo tiene dimensión de Krull infinita.
Esto resulta de la fórmula de Grothendieck para la dimensión de Krull del producto tensorial de dos extensiones de campo $K,L$ de un campo $k$ en función de los grados de trascendencia de las extensiones: $$ \dim (K \otimes_k L) =\min(\operatorname{trdeg}_k K, \operatorname{trdeg}_k L) $$

Desde $\operatorname{trdeg}_{k(x)} k((x))=\infty$ deducimos que, como se ha anunciado, $$\dim(k[[x]] \otimes_{k[x]} k[[x]]) \geq \dim(k((x)) \otimes_{k(x)} k((x))) = \infty$$

Apéndice: algunas propiedades de nuestros productos tensoriales
i) Permítanme demostrar, como respuesta a la primera pregunta de Pierre-Yves en los comentarios, que $R=k[[x]] \otimes_{k[x]} k[[x]]$ no es un anillo noetheriano.
Cualquier anillo de fracciones de un anillo noetheriano es noetheriano y puesto que, como ya se ha mencionado, el anillo $T=k((x)) \otimes_{k(x)} k((x))$ es un anillo de fracciones , basta con demostrar que el último producto tensorial $T$ de extensiones no es noetheriano.
Esto resulta del siguiente teorema de Vamos: dada una extensión de campo $F\subset K$ el producto tensorial $K\otimes_F K$ es noetheriano si la extensión está finitamente generada (en el sentido de campo). Como en nuestro caso la extensión $k(x) \subset k((x))$ no está finitamente generada , concluimos que $T$ no es noetheriano.
Por cierto, dado que el anillo de valoración discreta $k[[x]]$ es noetheriano esto da otra prueba de que $R$ no es isomorfo a $k[[x]]$

ii) Pierre-Yves también pregunta si el anillo $T$ es local. No lo es porque un teorema de Sweedler afirma que un producto tensorial de álgebras sobre un campo es local sólo si uno de los factores es algebraico.
Desde $k(x) \subset k((x))$ no es algebraica, la no localidad de $T$ sigue.

iii) El anillo $R=k[[x]] \otimes_{k[x]} k[[x]]$ no es un dominio (otra cosa por la que ha preguntado Pierre-Yves) porque si lo fuera, su anillo de fracciones $T=k((x)) \otimes_{k(x)} k((x))$ también sería un dominio (¡otra vez esa reducción!) y voy a demostrar que en realidad $T$ tiene divisores cero.

La observación clave es que si $F\subset F(a)$ es una extensión algebraica simple no trivial el producto tensorial $F(a)\otimes _F F(a)$ no es un dominio. De hecho tenemos un isomorfismo $F(a)\otimes _F F(a)=F(a)[T]/(m(T))$ donde $m(T)$ es el polinomio mínimo de $a$ en $F$ . Desde $m(T)$ tiene $a$ como raíz, ya no es irreducible sobre $F(a)$ y el cociente $F(a)[T]/m(T)$ tiene divisores nulos.

Y ahora el resto es fácil. Sólo tienes que tomar un elemento $a\in k((x))\setminus k(x)$ algebraico sobre $k(x)$ . Desde $(k(x))(a)\otimes _{k(x)} (k(x))(a)$ es un subring de $T=k((x)) \otimes_{k(x)} k((x))$ que contiene divisores cero, el anillo $T$ a fortiori tiene divisores nulos.

Answer 2

Los anillos $R:=k[[x]]\otimes_{k[x]}k[[x]]$ y $k[[x]]$ son no isomórficas. He aquí una ligera simplificación de la prueba de Georges Elencwajg.

Supongamos por contradicción $R\simeq k[[x]]$ . Sea $K$ sea el campo de fracciones de $R$ y $S$ el sistema multiplicativo $k[x]\backslash\{0\}$ . En $R$ es un subring maximal de $K$ y $x\otimes1$ es invertible en $$S^{-1}R=k((x))\otimes_{k(x)}k((x)),$$ pero no en $R$ tenemos $$K=S^{-1}R=k((x))\otimes_{k(x)}k((x)).$$ Si $a$ está en $k((x))\backslash k(x)$ entonces $a\otimes1-1\otimes a$ es un elemento no nulo de $K$ que se asigna a $0$ por el morfismo natural a $k((x))$ una contradicción.