Diferenciación bajo el signo integral.

Question

Estoy trabajando en una integral sugerida para practicar al final del artículo de Wikipedia sobre diferenciación bajo el signo integral, y estoy atascado.

Estoy intentando evaluar esta integral:

$$\int_0^{\pi/2} \frac{x}{\tan x} \ dx.$$

El artículo sugiere la siguiente parametrización:

$$F(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{\tan^{-1}(a\tan (x))}{\tan x} \ dx.$$

Diferenciando con respecto a $a$ obtenemos

$$F'(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+a^2\tan^2 x} \ dx.$$

No puedo encontrar una manera de evaluar esto, y tampoco Wolfram Alpha. Los valores especiales $a=0,1$ son fáciles, pero no veo cómo ayudan.

¿Cómo puedo terminar de evaluar esta integral?

Edición: Creo que es sólo la sustitución, tal vez. Voy a actualizar el post en consecuencia pronto.

Editar 2: Efectivamente, la sustitución $u=\tan x$ e identidad $\sec^2 = 1 + \tan^2$ transformar la integral anterior en

$$F'(a) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{(1+u^2)(1+a^2u^2)}.$$

Esto se puede resolver con fracciones parciales.

Answer 1

Tienes que

$$\frac{1}{{\left( {1 + {u^2}} \right)\left( {1 + {a^2}{u^2}} \right)}} = \left( {\frac{A}{{1 + {u^2}}} + \frac{B}{{1 + {a^2}{u^2}}}} \right)$$

Así se quiere (después de cruzar mult.)

$$1 = A + A{a^2}{u^2} + B + B{u^2}$$

Esto es

$$\eqalign{ & A + B = 1 \cr & A{a^2} + B = 0 \cr} $$

Lo que da

$$A = \frac{1}{{1 - {a^2}}}$$

y a su vez

$$B = 1 - A = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} - 1}}$$

lo que significa

$$\frac{1}{{\left( {1 + {u^2}} \right)\left( {1 + {a^2}{u^2}} \right)}} = \frac{1}{{{a^2} - 1}}\left( {\frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}{u^2}}} - \frac{1}{{1 + {u^2}}}} \right)$$

¿Puedes seguir adelante?

Answer 2

Mathematica puede hacer esta integral perfectamente:

$$F'(a) = \frac{a \tan^{-1}(a \tan x)-\tan^{-1}(\tan x)}{a^2-1} \Bigg|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2+2a}.$$

Por lo tanto, la integral deseada es: $$F(1) = F(0) +\int_{0}^{1} \! \frac{\pi}{2+2a}\,\mathrm{d}a =\frac{\pi}{2} \log(2).$$