Lo siento si esta es una pregunta tonta, pero no puedo obtener mi cabeza alrededor de él.
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Stefano
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763
Para ser concretos, nos deja aquí se supone que los disipadores de la fuerza es una fuerza de fricción
$$\tag{1} {\bf F}~=~-k {\bf v} $$
proporcional a la velocidad de la ${\bf v}=\dot{\bf r}$ del punto de partículas.
Recordemos que un dependiente de la velocidad potencial de $U=U({\bf r},{\bf v},t)$ de una fuerza de ${\bf F}$, por definición satisface
$$\tag{2} {\bf F}~=~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}, $$
cf. Ref. 1. A continuación definimos el potencial de la parte de la acción como
$$\tag{3} S_p~:=~\int \!dt~U,$$
y tenga en cuenta que la ecualización. (2) puede escribirse con la ayuda de un funcional derivado
$$\tag{4} F_i(t)~=~-\frac{\delta S_p}{\delta x^i(t)}, \qquad i~\in~\{1,2,3\}. $$
Desde funcionales derivados commute
$$\etiqueta{5} \frac{\delta}{\delta x^i(t)} \frac{\delta S_p}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~\frac{\delta}{\delta x^j(t^{\prime})} \frac{\delta S_p}{\delta x^i(t)},$$
se derivan los siguientes consistencia condición (6) para una fuerza con un potencial dependiente de la velocidad
$$\etiqueta{6} \frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~[(i,t) \longleftrightarrow (j,t^{\prime})]. $$
Eq. (6) es un análogo funcional de una relación de Maxwell. Sin embargo, la fuerza de fricción (1) cumple precisamente la simetría opuesta
$$\etiqueta{7} \frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} = -k~ \delta_{ij} \frac{d}{dt}\delta(t-t^{\prime}) ~=~-[(i,t) \longleftrightarrow (j,t^{\prime})]. $$
En eq. (7) se utiliza que
$$\etiqueta{8} \frac{\delta x^i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~\delta_j^i ~\delta(t-t^{\prime}).$$
La comparación de la nca. (6) y (7), llegamos a la conclusión de que la fuerza de fricción (1) puede no tener un potencial dependiente de la velocidad (2).
Referencias:
- H. Goldstein, De La Mecánica Clásica, Capítulo 1.
nosklo
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138
Debido a que la característica básica de un potencial es que es independiente de la ruta. Es una propiedad de un punto en el espacio de la fase, no de la historia del sistema.
Piense en ello de esta manera: si lleva su sistema a un pequeño viaje en el espacio de fase y regresa a su punto de partida, el potencial no puede cambiar en el proceso (ya que es una función de su posición en el espacio de la fase). Pero si hay disipación, se pierde energía en el proceso.
user7375
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569
Una forma de interpretar esta pregunta es, "¿qué hace que una fuerza sea conservadora?" La respuesta es que las fuerzas conservadoras no excitan grados internos de libertad - no hay transferencia de energía a la energía interna (sin flujo de calor). Cuando la fricción está presente, entonces la contabilidad del presupuesto de energía en el sistema se vuelve más complicada que la interacción habitual entre la energía cinética y potencial porque el presupuesto de energía interna se vuelve importante.
alwyn
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31
Disipativo fuerzas no conservador. Una fuerza conservadora es uno en el que el trabajo realizado por la fuerza sobre un cuerpo es independiente de la trayectoria tomada. Por ejemplo, podemos mover una bola a un metro arriba de múltiples maneras. Podemos, moverse hacia arriba, o podemos mover hasta dos metros y luego se dejó caer. La red de la energía suministrada a la red por que es el mismo, es $mgh$. Ahora, veamos el caso de procesos en los que la pelota vuelve a donde está. Se puede mover a una altura de un metro, y se deja caer, pero no se le suministra la energía neta. Toda la energía que usted proporcione será lanzado durante la caída de la bola.
Por otro lado, la fricción de arrastre/etc son nonconservative. Tomar un bloque sobre una superficie áspera. Digamos que la cinética de la fuerza de fricción constante de magnitud $f$. Ahora, mueva el bloque de $x$ hacia adelante, y tomar de nuevo. Que va a hacer el trabajo $2fx$ contra la fricción (por Lo que la fricción hace el trabajo,$-2fx$). Aunque hubo ningún cambio neto de posición, no fue el trabajo realizado. Ahora, el trabajo realizado=cambio en el PE. Pero, el potencial en un punto debe ser constante, por lo que el cambio en PE=0! Así, el potencial no es definible.
Esto sucede a la mayoría de las fuerzas que dependen de la velocidad de la partícula. Por ejemplo, la fuerza magnética$^{*}$ ($q\vec{v}\times\vec{B}$), la fuerza de fricción cinética($-\mu_kN\hat{v}$), etc. También sucede en el caso de que las líneas de campo de una fuerza en forma de bucles (inducida por las líneas de campo eléctrico, por ejemplo).
Todo esto puede ser matemáticamente codificado como esta: Si usted tiene un vector de fuerza de campo $\mathbb{\vec{F}}$ (Un campo vectorial es un vector que es una función de $(x,y,z)$), luego por el campo para ser conservador, $\nabla\times\mathbb{\vec{F}}=0$
Resumiendo, podemos definir el potencial de una fuerza que hace el mismo trabajo para llegar del punto a al punto B, no importa lo que el camino es.
$*$La fuerza magnética no es exactamente nonconservative. No hacer el trabajo (siempre es perpendicular al desplazamiento), así que realmente no podemos hablar de conservativeness.
